오일러 치환

개요

• \(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\)형태의 적분을 유리함수의 적분으로 바꾸는 변수치환 \(x=x(t)\)
  
• 유리함수의 적분은 인수분해를 통하여 가능하므로, 이러한 형태의 적분 문제를 완전히 이해하는 셈이 된다
  
• 이차곡선\(y^2=ax^2+bx+c\)를 유리함수 \(f,g\)를 사용하여 \(x=f(t), y=g(t)\)로 매개화할 수 있기 때문에 가능하다
  
• 삼각치환이 잘 작동하는 이유를 설명해준다
  
• 타원적분론을 공부하기 전에 이해하면 도움이 된다
  

제1오일러치환

• \(a>0\) 일때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x\) 로 치환
• 예
  \(\int\sqrt{x^2-4}\,dx\)
  \(\sqrt{x^2-4}=t-x\)
  \(x=\frac{4+t^2}{2t}\)
  \(\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt\)
  

제2오일러치환

• \(c>0\) 일때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}\) 로 치환
• 예
  \(\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\,dx\)
  \(\sqrt{1-x^2}=xt+1\)
  \(x=\frac{2t}{t^2+1}\)
  \(\int \frac{1+2 t^2-3 t^4}{t \left(1+t^2\right)^2}\,dt\)
  

제3오일러치환

• \(ax^2+bx+c=0\)가 두 실근u,v를 가질때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-u)\)로 치환
  
• 예
  \(\int\sqrt{x^2-4}\,dx\)
  \(\sqrt{x^2-4}=t(x-2)\)
  \(x=\frac{2t^2+2}{t^2-1}\)
  \(\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt\)
  

타원적분

• 유리함수 R에 대한 \(R(x,\sqrt{x^3+ax^2+bx+c})\) 의 부정적분
  \(\int R (x,\sqrt{x^3+ax^2+bx+c})\,dx\)
  단, \(x^3+ax^2+bx+c\)는 서로 다른 해를 가짐
  
• 곡선 \(y^2=x^3+ax^2+bx+c\)는 위에서처럼 적당한 유리함수 \(x=f(t), y=g(t)\) 로 매개화할 수 없기 때문에, 이야기가 달라지게 된다
  
• 타원적분
  

재미있는 사실

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
• 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

메모

• 미적분학은 사소하지 않다
• http://www.goiit.com/posts/list/integration-euler-s-substitution-354.htm
• http://pauli.uni-muenster.de/~munsteg/arnold.html
• 삼각치환

관련된 항목들

• 미적분학
• 삼각치환
• 피타고라스 쌍
• 오일러(1707-1783)
• 타원적분
• 이차곡선(원뿔곡선)

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://planetmath.org/encyclopedia/EulersSubstitutionsForIntegration.html

관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

관련도서

• Courant, Richard. 1988. Differential and Integral Calculus. John Wiley & Sons.