오일러 치환

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 2월 9일 (화) 19:33 판
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개요

 

  • \(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\)의 적분
    \(ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\{(ax+b)^2+{ac-b^2}}\}\) 으로 쓴 다음
  • \(ac-b^2\)와 \(a\)의 부호에 따라, 적당히 치환

 

  • \(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\) 형태의 적분을 유리함수의 적분으로 바꾸는 변수 \(x=x(t)\) 치환
  • \(y^2=ax^2+bx+c\)를 \(t\)에 대한 유리함수로 매개화하는 것이 가장 중요한 아이디어이다. 
  • \(y-y_0 = t(x-x_0)\) passing through a point  \((x_0,y_0)\)

 

 

 

제1오일러치환
  • \(a>0\) 일때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x\) 로 치환
  • \(\int\sqrt{x^2-4}\,dx\)의 예
    \(\sqrt{x^2-4}=t-x\)
    \(x=\frac{4+t^2}{2t}\)
    \(\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt\)

 


 

제2오일러치환
  • \(c>0\) 일때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}\) 로 치환
  • \(\int x^2\sqrt{1-x^2}\,dx\)의 예
    \(\sqrt{1-x^2}=xt+1\)
    \(x=\frac{2t}{t^2+1}\)
     

 

 

제3오일러치환
  • \(ax^2+bx+c=0\)가 두 실근u,v를 가질때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-u)\)로 치환
  • \(\int\sqrt{x^2-4}\,dx\)의 예
    \(\sqrt{x^2-4}=t(x-2)\)
    \(x=\frac{2t^2+2}{t^2-1}\)
    \(\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt\)

 

 

http://books.google.com/books?id=E2IhMXPZMNIC&pg=PR8&lpg=PR8&dq=functions+with+elementary+integral+Analysis+by+Its+History&source=bl&ots=7GRnB0mT8k&sig=jpLHMzhVvPUFDTvIhCYojZWTYNo&hl=ko&ei=VU2HSuu2FpTOsQPMwInbAg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3#v=onepage&q=&f=false

 

 

\(\int \sqrt{x^2+1}\,dx\)

 

http://www.goiit.com/posts/list/integration-euler-s-substitution-354.htm

http://pauli.uni-muenster.de/~munsteg/arnold.html

 

 

 

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