오일러 치환

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 2월 10일 (수) 19:24 판
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개요
  • \(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\)의 부정적분을 유리함수의 적분으로 바꾸는 변수 \(x=x(t)\) 치환
  • \(y^2=ax^2+bx+c\)를 \(t\)에 대한 유리함수로 매개화할 수 있기 때문에 가능하다
  • 삼각치환 항목도 더불어 참조

 

 

제1오일러치환
  • \(a>0\) 일때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x\) 로 치환
  • 예
    \(\int\sqrt{x^2-4}\,dx\)
    \(\sqrt{x^2-4}=t-x\)
    \(x=\frac{4+t^2}{2t}\)
    \(\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt\)

 


 

제2오일러치환
  • \(c>0\) 일때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}\) 로 치환
  • 예
    \(\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\,dx\)
    \(\sqrt{1-x^2}=xt+1\)
    \(x=\frac{2t}{t^2+1}\)
    \(\int \frac{1+2 t^2-3 t^4}{t \left(1+t^2\right)^2}\,dt\)

 

 

제3오일러치환
  • \(ax^2+bx+c=0\)가 두 실근u,v를 가질때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-u)\)로 치환
  • \(\int\sqrt{x^2-4}\,dx\)의 예
    \(\sqrt{x^2-4}=t(x-2)\)
    \(x=\frac{2t^2+2}{t^2-1}\)
    \(\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt\)

 

 

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