원 위에서 각도함수 정의하기

질문에 대한 답변

직선위의 한 점 즉 실수 

원위의 한 점은 크기가 1인

 

 

 

블로그 포스팅

먼저 원위에서 한바퀴를 돌면 [1] (라디안) 만큼의 각의 변화가 있다는 사실은 고딩 1학년 정도에서 배울 것입니다. 이에 대해서는 http://pythagoras0.springnote.com/pages/1950888 항목을 참고하시기 바랍니다.

 

단위원의 모든 점 (x,y)에서 연속적으로 정의된 각도함수 [2]의 값 [3] 를 정의하는 일이 가능한지 생각해 봅시다.

 

[/pages/2696052/attachments/1295162 alg2_radians.gif]

 

 

일단 시작을 위해 점 (1,0)에 일단 각도함수의 값을  [4]  이라고 정의를 해봅시다. 위의 그림대로 원위의 점을 따라 조금씩 반시계 방향으로 이동하면서 각도함수를 연속적으로 정의해 나갈수가 있을 것으로 보입니다. 하지만 문제는 원의 한바퀴를 돌아서 다시 같은 점에 돌아왔을 때 발생합니다. 이미 [5] 으로 정의를 해놓은 마당에, 반시계 방향으로 원주 한바퀴를 돌면서  [6]의 정의를 확장해 가다보면, 각도함수를 연속함수로 정의하기 위해서는 [7] 라고 정의를 해야하는 문제에 봉착하게 됩니다.

 

결론은 단위원의 모든 점 (x,y)에서 연속적으로 정의된 각도함수  [8]를 정의하는 것은 불가능하다는 것입니다. 그럼에도 우리는 연속적으로 계속 확장이 가능한 각도함수 [9] 를 잘 이해할 수 있을 것 같다는 듭니다. 이 문제를 어떻게 해결해야 할까요?

 

함수는 분명히 있는데, 정의역이 원이 아니다. 그렇다면 도대체 정의역이 무엇이란 말인가? 이 문제에 대해 생각을 하다보면, 우리는 원 위에 놓여 있는 또다른 기하학적 공간을 발견하게 됩니다. 이것은 다름 아닌 직선입니다.

 

 

[10]

 

학부수학의 뼈대 에서 보여드린 바로 그 그림인 것이지요.

 

원위에서 각도함수를 정의하려다보면, 우리는 그것이 불가능함을 알게 되었습니다. 원이라는 공간과 거기서 국소적으로 확장 가능한 함수가 만나, 우리는 원위에 펼쳐진 새로운 공간을 발견하게 됩니다. 결론적으로 각도함수가 정의되어 있는 '올바른' 공간은 원이 아니라, 원을 무한번 둘둘 감고 있는 '직선'을 발견하게 되는 것입니다.

 

 

오늘은 일단, 얘기된 내용과 관련된 2분20초 동영상으로 마무리합니다.

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Winding_number

[11]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

간단한 소개

analytic continuation of the angle function [12] on the unit circle

[13] is not defined on the unit circle

It is defined on the universal covering.

 

The angle element can satisfy the relation

\(\tan\theta=\frac{y}{x}\) , or equivalently, \(\theta=\arctan{\frac{y}{x}}\)

The one-form \(d\theta\) is defined on the circle since  

\(d\theta = \frac{1}{r^2} \left( x\,dy - y\,dx \right)\quad\text{where }r^2 = x^2 + y^2\)

So now the angle function can be written as an integral on the circle,  \(\theta =\int_C \,\frac{x\,dy-y\,dx}{x^2+y^2} \).

 

 

 

각도함수와 cohomology

The one-form dθ (defined on the complement of the origin) is closed but not exact, and it generates the first De Rham cohomology group of the punctured plane. In particular, if ω is any closed differentiable one-form defined on the complement of the origin, then the integral of ω along closed loops gives a multiple of the winding number.