"유리계수 이차형식"의 두 판 사이의 차이
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| − | * | + | * <math>f(x,y,z)=3 x^2+2 y^2-7 z^2</math>는 비등방형식이다. <math>f(x,y,z)=0</math>을 만족하는 비자명한 <math>(x,y,z)\in \mathbb{Q}^3</math>는 존재하지 않는다 |
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| − | * | + | * <math>f=x^2-15 y^2</math>와 <math>g=3 x^2-5 y^2</math>는 유리수체 위에서 동치관계에 있지 않다 |
* 1을 표현할 수 있는지의 여부로 판단가능 | * 1을 표현할 수 있는지의 여부로 판단가능 | ||
| − | * | + | * <math>f</math>와 <math>g</math>는 <math>\mathbb{Q}_2</math> 또는 <math>\mathbb{Q}_5</math>에서 동치관계에 있지 않다 |
* 이는 하세-민코프스키 불변량을 이용하여 확인할 수 있다 | * 이는 하세-민코프스키 불변량을 이용하여 확인할 수 있다 | ||
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| − | * 이차형식에 대응되는 대각행렬 | + | * 이차형식에 대응되는 대각행렬 <math>Q_f,Q_g</math>를 다음과 같이 쓰자 |
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* 하세-민코프스키 불변량 | * 하세-민코프스키 불변량 | ||
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2020년 11월 13일 (금) 00:27 판
개요
- 유리수체 위에서의 대칭 겹선형 형식과 이차형식 이론
- 유리계수 이차형식에 대해서는 국소-대역(local-global) 원리가 작동
- 등방형식의 판정
- 하세-민코프스키(Hasse-Minkowski) 정리
등방형식
- 다음의 예에 대해서는 정수계수 삼변수 이차형식(ternary integral quadratic forms)의 지식이 도움이 된다
예1
- \(f(x,y,z)=3 x^2+2 y^2-11 z^2\)는 등방형식이다. 예를 들어 \(f(1,2,1)=0\)
예2
- \(f(x,y,z)=3 x^2+2 y^2-7 z^2\)는 비등방형식이다. \(f(x,y,z)=0\)을 만족하는 비자명한 \((x,y,z)\in \mathbb{Q}^3\)는 존재하지 않는다
동치관계
예1
- \(f=x^2-15 y^2\)와 \(g=3 x^2-5 y^2\)는 유리수체 위에서 동치관계에 있지 않다
- 1을 표현할 수 있는지의 여부로 판단가능
- \(f\)와 \(g\)는 \(\mathbb{Q}_2\) 또는 \(\mathbb{Q}_5\)에서 동치관계에 있지 않다
- 이는 하세-민코프스키 불변량을 이용하여 확인할 수 있다
\[ \begin{array}{c|cc} p & c_p(f)& c_p(g) \\ \hline \infty & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 5 & 1 & -1 \\ 7 & 1 & 1 \\ 11 & 1 & 1 \\ 13 & 1 & 1 \\ 17 & 1 & 1 \\ 19 & 1 & 1 \\ 23 & 1 & 1 \\ 29 & 1 & 1 \end{array} \]
예2
- \(f=x^2-82 y^2\)와 \(g=2 x^2-41 y^2\)는 유리수체 위에서 동치관계에 있다
- 이차형식에 대응되는 대각행렬 \(Q_f,Q_g\)를 다음과 같이 쓰자
\[ Q_f=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -82 \end{array} \right) , \quad Q_g=\left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & -41 \end{array} \right) \]
- 다음이 성립한다
\[ P^{T}Q_fP=Q_g \] 여기서 \[ P=\left( \begin{array}{cc} \frac{10}{3} & -\frac{41}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{5}{3} \end{array} \right). \]
- 하세-민코프스키 불변량
\[ \begin{array}{c|cc} p & c_p(f)& c_p(g) \\ \hline \infty & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 5 & 1 & 1 \\ 7 & 1 & 1 \\ 11 & 1 & 1 \\ 13 & 1 & 1 \\ 17 & 1 & 1 \\ 19 & 1 & 1 \\ 23 & 1 & 1 \\ 29 & 1 & 1 \end{array} \]
관련된 항목들
수학용어번역
- Hasse - 발음사전 Forvo
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
관련도서
- Serre, J.-P. 1973. A Course in Arithmetic. Springer.
- 책의 절반은 유리수체 위에서 정의된 이차형식의 분류와 관련하여 local-global 원리를 증명함
관련논문
- Tamotsu Ikeda, Hidenori Katsurada, On the Gross-Keating invariant of a quadratic form over a non-archimedean local field, arXiv:1504.07330 [math.NT], April 28 2015, http://arxiv.org/abs/1504.07330