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* 유리수체 위에서의 [[대칭 겹선형 형식과 이차형식]] 이론
 
* 유리수체 위에서의 [[대칭 겹선형 형식과 이차형식]] 이론
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* 유리계수 이차형식에 대해서는 local-global 원리가 작동
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* 유리계수 이차형식에 대해서는 [[국소-대역(local-global) 원리]]가 작동
 
* 등방형식의 판정
 
* 등방형식의 판정
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* Hasse-Minkowski 정리
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* 하세-민코프스키(Hasse-Minkowski) 정리
  
  
 
==등방형식==
 
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* 다음의 예에 대해서는 [[정수계수 삼변수 이차형식(ternary integral quadratic forms)]]의 지식이 도움이 된다
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* $f(x,y,z)=3 x^2+2 y^2-11 z^2$는 등방형식이다. 예를 들어 $f(1,2,1)=0$
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* <math>f(x,y,z)=3 x^2+2 y^2-11 z^2</math>는 등방형식이다. 예를 들어 <math>f(1,2,1)=0</math>
  
 
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* $g(x,y,z)=3 x^2+2 y^2-7 z^2$는 비등방형식이다. $f(x,y,z)=0$을 만족하는 비자명한 $(x,y,z)\in \mathbb{Q}^3$는 존재하지 않는다
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* <math>f(x,y,z)=3 x^2+2 y^2-7 z^2</math>는 비등방형식이다. <math>f(x,y,z)=0</math>을 만족하는 비자명한 <math>(x,y,z)\in \mathbb{Q}^3</math>는 존재하지 않는다
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==동치관계==
 
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* $f=x^2-15 y^2$와 $g=3 x^2-5 y^2$는 유리수체 위에서 동치관계에 있지 않다
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* <math>f=x^2-15 y^2</math>와 <math>g=3 x^2-5 y^2</math>는 유리수체 위에서 동치관계에 있지 않다
 
* 1을 표현할 수 있는지의 여부로 판단가능
 
* 1을 표현할 수 있는지의 여부로 판단가능
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* 가령 $f$와 $g$는 $\mathbb{Q}_2$ 또는 $\mathbb{Q}_5$에서 동치관계에 있지 않다
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* <math>f</math>와 <math>g</math>는 <math>\mathbb{Q}_2</math> 또는 <math>\mathbb{Q}_5</math>에서 동치관계에 있지 않다
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* 이는 Hasse-Minkowski 불변량을 이용하여 확인할 수 있다
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* 이는 하세-민코프스키 불변량을 이용하여 확인할 수 있다
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* $f=x^2-82 y^2$와 $g=2 x^2-41 y^2$는 유리수체 위에서 동치관계에 있다
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* 이차형식에 대응되는 대각행렬 $Q_f,Q_g$를 다음과 같이 쓰자
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==관련된 항목들==
 
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* [[힐베르트 부호]]
 
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==수학용어번역==
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** 책의 절반은 유리수체 위에서 정의된 이차형식의 분류와 관련하여 local-global 원리를 증명함
 
** 책의 절반은 유리수체 위에서 정의된 이차형식의 분류와 관련하여 local-global 원리를 증명함
 
[[분류:정수론]]
 
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== 관련논문 ==
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* Tamotsu Ikeda, Hidenori Katsurada, On the Gross-Keating invariant of a quadratic form over a non-archimedean local field, arXiv:1504.07330 [math.NT], April 28 2015, http://arxiv.org/abs/1504.07330
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q2115578 Q2115578]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'hasse'}, {'LEMMA': 'principle'}]
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* [{'LOWER': 'local'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'global'}, {'LEMMA': 'principle'}]

2021년 2월 17일 (수) 03:23 기준 최신판

개요


등방형식

예1

  • \(f(x,y,z)=3 x^2+2 y^2-11 z^2\)는 등방형식이다. 예를 들어 \(f(1,2,1)=0\)

예2

  • \(f(x,y,z)=3 x^2+2 y^2-7 z^2\)는 비등방형식이다. \(f(x,y,z)=0\)을 만족하는 비자명한 \((x,y,z)\in \mathbb{Q}^3\)는 존재하지 않는다


동치관계

예1

  • \(f=x^2-15 y^2\)와 \(g=3 x^2-5 y^2\)는 유리수체 위에서 동치관계에 있지 않다
  • 1을 표현할 수 있는지의 여부로 판단가능
  • \(f\)와 \(g\)는 \(\mathbb{Q}_2\) 또는 \(\mathbb{Q}_5\)에서 동치관계에 있지 않다
  • 이는 하세-민코프스키 불변량을 이용하여 확인할 수 있다

\[ \begin{array}{c|cc} p & c_p(f)& c_p(g) \\ \hline \infty & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 5 & 1 & -1 \\ 7 & 1 & 1 \\ 11 & 1 & 1 \\ 13 & 1 & 1 \\ 17 & 1 & 1 \\ 19 & 1 & 1 \\ 23 & 1 & 1 \\ 29 & 1 & 1 \end{array} \]

예2

  • \(f=x^2-82 y^2\)와 \(g=2 x^2-41 y^2\)는 유리수체 위에서 동치관계에 있다
  • 이차형식에 대응되는 대각행렬 \(Q_f,Q_g\)를 다음과 같이 쓰자

\[ Q_f=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -82 \end{array} \right) , \quad Q_g=\left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & -41 \end{array} \right) \]

  • 다음이 성립한다

\[ P^{T}Q_fP=Q_g \] 여기서 \[ P=\left( \begin{array}{cc} \frac{10}{3} & -\frac{41}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{5}{3} \end{array} \right). \]

  • 하세-민코프스키 불변량

\[ \begin{array}{c|cc} p & c_p(f)& c_p(g) \\ \hline \infty & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 5 & 1 & 1 \\ 7 & 1 & 1 \\ 11 & 1 & 1 \\ 13 & 1 & 1 \\ 17 & 1 & 1 \\ 19 & 1 & 1 \\ 23 & 1 & 1 \\ 29 & 1 & 1 \end{array} \]


관련된 항목들


수학용어번역

  • Hasse - 발음사전 Forvo


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료


관련도서

  • Serre, J.-P. 1973. A Course in Arithmetic. Springer.
    • 책의 절반은 유리수체 위에서 정의된 이차형식의 분류와 관련하여 local-global 원리를 증명함

관련논문

  • Tamotsu Ikeda, Hidenori Katsurada, On the Gross-Keating invariant of a quadratic form over a non-archimedean local field, arXiv:1504.07330 [math.NT], April 28 2015, http://arxiv.org/abs/1504.07330

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'hasse'}, {'LEMMA': 'principle'}]
  • [{'LOWER': 'local'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'global'}, {'LEMMA': 'principle'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=유리계수_이차형식&oldid=52009"