유한생성 아벨군의 기본정리
개요
- $G$가 유한생성 아벨군이면, 다음을 만족하는 $r,u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$와 자연수 $d_1|d_2|\cdots |d_u$, $d_1>1$를 찾을 수 있으며, 이는 유일하게 결정된다
$$ G\cong \mathbb{Z}^r \oplus \mathbb{Z}_{d_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{d_u}, $$
유한 아벨군
- 완전잉여계와 기약잉여계
- 1부터 n까지의 양의 정수들은 덧셈 (mod n) 에 대한 군의 구조를 이룸
- 이 군을 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 로 표현함
- 1부터 n까지의 양의 정수 중에 n과 서로소인 수로 구성된 집합은 곱셈 (mod n) 에 대한 군의 구조를 이룸
- 이 군을 \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\) 로 표현함
예
- $x_1,x_2\cdots,x_5$ 다섯 개의 원소로 생성되는 유한 아벨군 $G$가 다음과 같은 관계식을 만족하는 경우를 생각하자
$$ \left\{ \begin{array}{c} x_1-5 x_2+10 x_4-15 x_5=0 \\ 4 x_2-8 x_4+12 x_5=0 \\ 3 x_1-3 x_2-2 x_3+6 x_4-9 x_5=0 \\ x_1-x_2+2 x_4-3 x_5=0 \\ \end{array} \right. \label{rels} $$
- 다음과 같이 정의된 $y_1,\cdots, y_5\in G$ 역시 $G$의 생성원이 된다
$$ \begin{aligned} \begin{array}{c} x_1&=&y_1+5 y_3 \\ x_2&=&y_3+2 y_4-3 y_5 \\ x_3&=&y_2 \\ x_4&=&y_4 \\ x_5&=&y_5 \\ \end{array} \end{aligned} $$
- $y_1,\cdots,y_5$는 다음을 만족한다
$$ \left\{ \begin{array}{c} y_1=0 \\ 2y_2=0 \\ 4y_3=0 \end{array} \right. $$
- 따라서 아벨군의 구조는 다음과 같다
$$ G\cong \mathbb{Z}^2 \oplus \mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{4} \label{Gstr} $$
스미스 표준형을 통한 이해
- 관계식 \ref{rels}에 대한 행렬은 다음과 같이 쓰여진다
$$ \left( \begin{array}{ccccc} 1 & -5 & 0 & 10 & -15 \\ 0 & 4 & 0 & -8 & 12 \\ 3 & -3 & -2 & 6 & -9 \\ 1 & -1 & 0 & 2 & -3 \\ \end{array} \right) $$
- 이 행렬의 스미스 표준형 (Smith normal form)은 다음과 같이 주어진다
$$ \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right).\left( \begin{array}{ccccc} 1 & -5 & 0 & 10 & -15 \\ 0 & 4 & 0 & -8 & 12 \\ 3 & -3 & -2 & 6 & -9 \\ 1 & -1 & 0 & 2 & -3 \end{array} \right).\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$
- 이로부터 다시 \ref{Gstr}을 확인할 수 있다
역사
메모
- $G_{\operatorname{Tor}}$
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNnBSUVV2NS1JRlE/edit
- http://demonstrations.wolfram.com/TheFundamentalTheoremOfFiniteAbelianGroups/
관련도서
- Norman, Christopher. 2012. Finitely Generated Abelian Groups and Similarity of Matrices over a Field, Springer.