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<h5>이 항목의 수학노트 원문주소</h5>
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==개요==
  
* [[이계 선형 미분방정식]]
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* 다음 형태로 주어지는 미분방정식:<math>\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=g(x)</math>
  
 
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<h5>개요</h5>
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==예==
  
* 다음 형태로 주어지는 미분방정식<br><math>\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=g(x)</math><br>
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* [[상수계수 이계 선형미분방정식]]:<math>ay''+by'+cy=0</math>
  
 
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* [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)]]:<math>z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0</math>
  
 
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<h5>예</h5>
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* [[상수계수 이계 선형미분방정식]]<br><math>ay''+by'+cy=0</math><br>
 
 
 
* [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)]]<br><math>z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0</math><br>
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
<h5>론스키안(Wronskian)</h5>
 
  
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==론스키안(Wronskian)==
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===정의===
 
* [[론스키안(Wronskian)]]은 미분방정식
 
* [[론스키안(Wronskian)]]은 미분방정식
* <math>\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=0</math><br> 의 일차독립인 두 해, <math>y_1,y_2</math>에 대하여 다음과 같이 정의된다<br><math>\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2'  \end{vmatrix}</math><br>
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:<math>\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=0</math>의 일차독립인 두 해, <math>y_1,y_2</math>에 대하여 다음과 같이 정의된다:<math>\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2'  \end{vmatrix}</math>
*  정리<br><math>\begin{vmatrix} y_1  & y_2 \\ y_1' & y_2'  \end{vmatrix}=\,c e^{-\int{p}\,dz}</math><br>
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===성질===
 
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:<math>\begin{vmatrix} y_1  & y_2 \\ y_1' & y_2'  \end{vmatrix}=\,c e^{-\int{p}\,dz}</math>
 
(증명)
 
(증명)
 
 
<math>W=\begin{vmatrix} y_1  & y_2 \\ y_1' & y_2'  \end{vmatrix}=\,y_1y_2'-y_1'y_2</math>
 
<math>W=\begin{vmatrix} y_1  & y_2 \\ y_1' & y_2'  \end{vmatrix}=\,y_1y_2'-y_1'y_2</math>
  
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따라서 적당한 상수 c에 대하여, <math>W=\,c e^{-\int{p}\,dz}</math> ■
 
따라서 적당한 상수 c에 대하여, <math>W=\,c e^{-\int{p}\,dz}</math> ■
  
 
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<h5>미분방정식의 변환 (Q-form)</h5>
 
  
* <math>y''+p(x)y'+q(x)y=0</math> 의 가운데 <math> p(x)y</math> 항을 적당한 변환에 의해 없앨 수 있다
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<math>\sigma(x)=e^{-\frac{1}{2} \int p(x) \, dx}</math> 로 두자 .
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==미분방정식의 변환 (Q-form)==
  
<math>y(x)=\sigma(x)u(x)</math> 가 미분방정식의 해이면,
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* <math>y''+p(x)y'+q(x)y=0</math> 의 가운데 <math> p(x)y</math> 항을 적당한 변환에 의해 없앨 수 있다
  
<math>u''(x)-\frac{1}{4} u(x) \left(2 p'(x)+p(x)^2-4 q(x)\right)=0</math> 가 성립한다
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===증명===
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<math>\sigma(x)=e^{-\frac{1}{2} \int p(x) \, dx}</math> 로 두자. <math>y(x)=\sigma(x)u(x)</math> 가 미분방정식의 해이면,
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:<math>u''(x)-\frac{1}{4} u(x) \left(2 p'(x)+p(x)^2-4 q(x)\right)=0</math> 가 성립한다
  
 
 
  
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===응용===
 
특별히 이를 [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)]] 에 응용할 경우,
 
특별히 이를 [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)]] 에 응용할 경우,
  
<math> p(z)=\frac{c-z (a+b+1)}{(1-z) z}</math>, <math>q(z)=-\frac{a b}{(1-z) z}</math> 로 두면,
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:<math> p(z)=\frac{c-z (a+b+1)}{(1-z) z},q(z)=-\frac{a b}{(1-z) z}</math> 로 두면,
  
<math>q(z)-\frac{1}{4} p(z)^2-\frac{p'(z)}{2}=\frac{1}{4}\left(\frac{1-\alpha ^2}{z^2}+\frac{1-\gamma ^2}{(z-1)^2}+\frac{\alpha ^2+\gamma ^2-\beta ^2-1}{z(z-1)}\right)</math>  을 얻는다.
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:<math>q(z)-\frac{1}{4} p(z)^2-\frac{p'(z)}{2}=\frac{1}{4}\left(\frac{1-\alpha ^2}{z^2}+\frac{1-\gamma ^2}{(z-1)^2}+\frac{\alpha ^2+\gamma ^2-\beta ^2-1}{z(z-1)}\right)</math>을 얻는다.
  
 
여기서 <math>\alpha =1-c,\beta =a-b,\gamma =-a-b+c</math>.
 
여기서 <math>\alpha =1-c,\beta =a-b,\gamma =-a-b+c</math>.
  
 
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<h5>역사</h5>
 
 
 
 
 
 
 
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
<h5>메모</h5>
 
 
 
 
 
 
 
* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
 
 
 
 
 
  
 
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<h5>관련된 항목들</h5>
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==메모==
 +
* Bremer, James, and Vladimir Rokhlin. “On the Numerical Solution of Second Order Differential Equations in the High-Frequency Regime.” arXiv:1409.6049 [math], September 21, 2014. http://arxiv.org/abs/1409.6049.
 +
* [http://www.ncl.ac.uk/maths/students/teaching/notebooks/SeriesSolnNotebook.pdf The series solution of second order ordinary differential equations and special functions]
  
 
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==관련된 항목들==
  
 
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<h5>수학용어번역</h5>
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*  단어사전<br>
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
** http://translate.google.com/#en|ko|
 
** http://ko.wiktionary.org/wiki/
 
* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
 
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
* [http://www.kss.or.kr/pds/sec/dic.aspx 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표]
 
* [http://cgi.postech.ac.kr/cgi-bin/cgiwrap/sand/terms/terms.cgi 한국물리학회 물리학 용어집 검색기]
 
* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
 
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
<h5>매스매티카 파일 및 계산 리소스</h5>
 
  
 
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNkloSUtXMkszZ1U/edit
 
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNkloSUtXMkszZ1U/edit
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* http://functions.wolfram.com/
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
 
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
 
* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
 
* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]
 
 
 
 
 
 
 
 
<h5>사전 형태의 자료</h5>
 
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Main_Page Encyclopaedia of Mathematics]
 
* [http://dlmf.nist.gov NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
* [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]
 
 
 
 
 
 
 
 
<h5>리뷰논문, 에세이, 강의노트</h5>
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
<h5>관련논문</h5>
 
 
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 
* http://www.ams.org/mathscinet
 
* http://dx.doi.org/
 
 
 
 
 
 
 
  
<h5>관련도서</h5>
 
  
* 도서내검색<br>
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** http://books.google.com/books?q=
+
[[분류:미분방정식]]
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 

2020년 12월 28일 (월) 03:51 기준 최신판

개요

  • 다음 형태로 주어지는 미분방정식\[\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=g(x)\]





론스키안(Wronskian)

정의

\[\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=0\]의 일차독립인 두 해, \(y_1,y_2\)에 대하여 다음과 같이 정의된다\[\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}\]

성질

\[\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}=\,c e^{-\int{p}\,dz}\] (증명) \(W=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}=\,y_1y_2'-y_1'y_2\)

\(W'=y_1'y_2'+y_1y_2''-y_1''y_2-y_1'y_2'=y_1(-py_2'-qy_2)-(-py_1'-qy_1)y_2=-p(y_1y_2'-y_1'y_2)=-pW\)

따라서 적당한 상수 c에 대하여, \(W=\,c e^{-\int{p}\,dz}\) ■



미분방정식의 변환 (Q-form)

  • \(y''+p(x)y'+q(x)y=0\) 의 가운데 \( p(x)y\) 항을 적당한 변환에 의해 없앨 수 있다

증명

\(\sigma(x)=e^{-\frac{1}{2} \int p(x) \, dx}\) 로 두자. \(y(x)=\sigma(x)u(x)\) 가 미분방정식의 해이면, \[u''(x)-\frac{1}{4} u(x) \left(2 p'(x)+p(x)^2-4 q(x)\right)=0\] 가 성립한다


응용

특별히 이를 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations) 에 응용할 경우,

\[ p(z)=\frac{c-z (a+b+1)}{(1-z) z},q(z)=-\frac{a b}{(1-z) z}\] 로 두면,

\[q(z)-\frac{1}{4} p(z)^2-\frac{p'(z)}{2}=\frac{1}{4}\left(\frac{1-\alpha ^2}{z^2}+\frac{1-\gamma ^2}{(z-1)^2}+\frac{\alpha ^2+\gamma ^2-\beta ^2-1}{z(z-1)}\right)\]을 얻는다.

여기서 \(\alpha =1-c,\beta =a-b,\gamma =-a-b+c\).



메모

관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스