이계 선형 미분방정식

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• 이계 선형 미분방정식

 

 

개요

• 다음 형태로 주어지는 미분방정식
  \(\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=g(x)\)
  

 

 

론스키안(Wronskian)

• 일차독립인 두 해, \(y_1,y_2\)에 대하여 다음과 같이 정의된다
  \(\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}\)
  
• 정리
  \(\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}=\,c e^{-\int{p}\,dz}\)
  

(증명)

\(W=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}=\,y_1y_2'-y_1'y_2\)

\(W'=y_1'y_2'+y_1y_2''-y_1''y_2-y_1'y_2'=y_1(-py_2'-qy_2)-(-py_1'-qy_1)y_2=-p(y_1y_2'-y_1'y_2)=-pW\)

따라서 적당한 상수 c에 대하여, \(W=\,c e^{-\int{p}\,dz}\) ■