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<math>\int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy</math>
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<math>I = \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy</math> 에서 <math>x=\sin (u) \sec (v)</math>, <math>y=\sec (u) \sin (v)</math> 로 치환을 하자.
  
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<math>=\int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{\pi/2-v} \frac{1}{1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)}\left(1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)\right) dudv</math>
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자코비안은 다음과 같다.
  
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<math>\frac{1}{2}\frac{\pi }{2}\frac{\pi }{2}=\frac{\pi ^2}{8}</math>
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<math>\left|\left( \begin{array}{cc}  \cos (u) \sec (v) & \sin (u) \tan (v) \sec (v) \\  \tan (u) \sec (u) \sin (v) & \sec (u) \cos (v) \end{array} \right)\right|=1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)</math>
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<math>I=\int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{\pi/2-v} \frac{1}{1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)}\left(1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)\right) dudv =\frac{\pi ^2}{8}</math>
  
 
 
 
 

2011년 12월 9일 (금) 16:49 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

\(I = \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy\) 에서 \(x=\sin (u) \sec (v)\), \(y=\sec (u) \sin (v)\) 로 치환을 하자.

자코비안은 다음과 같다.

\(\left|\left( \begin{array}{cc} \cos (u) \sec (v) & \sin (u) \tan (v) \sec (v) \\ \tan (u) \sec (u) \sin (v) & \sec (u) \cos (v) \end{array} \right)\right|=1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)\)

\(I=\int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{\pi/2-v} \frac{1}{1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)}\left(1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)\right) dudv =\frac{\pi ^2}{8}\)

 

 

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