"이중적분과 바젤문제"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
잔글 (찾아 바꾸기 – “<br><math>” 문자열을 “:<math>” 문자열로)
잔글 (찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로)
65번째 줄: 65번째 줄:
  
 
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
−
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
+
* [[수학사 연표]]
  
 
 
 
 

2013년 1월 14일 (월) 19:57 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

  • \(\zeta(2) ={\pi^2}/{6}\) 의 계산을 다음 이중적분을 이용해 할 수 있다\[\int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy \]
  • 또 다른 이중적분\[\int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x y}dxdy \]
    도 사용할 수 있는데, 이는 다이로그 함수(dilogarithm) 와 관계있다

 

 

단계 1

\(I = \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+\cdots\) 임을 먼저 보이자.

\(\int_{0}^{1} \frac{1}{1-y^2 x^2} \, dx = \frac{\tanh ^{-1}(y)}{y}=1+\frac{y^2}{3}+\frac{y^4}{5}+\frac{y^6}{7}+\frac{y^8}{9}+\frac{y^{10}}{11}+\cdots\) 이므로

\(I = \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+\cdots\) 가 성립한다.

 

 

단계 2

\(I = \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy\) 에서 \(x=\sin (u) \sec (v)\), \(y=\sec (u) \sin (v)\) 로 치환을 하자.

자코비안은 다음과 같다.

\(\left|\left( \begin{array}{cc} \cos (u) \sec (v) & \sin (u) \tan (v) \sec (v) \\ \tan (u) \sec (u) \sin (v) & \sec (u) \cos (v) \end{array} \right)\right|=1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)\)

\(I=\int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{\pi/2-v} \frac{1}{1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)}\left(1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)\right) dudv =\frac{\pi ^2}{8}\)

 

 

단계 3

\(I = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+\cdots = \frac{3}{4}\zeta(2)\) 임을 보이자.

(증명)

\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+\frac{1}{10^2}+\cdots = \frac{1}{4}\zeta(2)\)

따라서

\(\zeta(2) = I + \frac{1}{4}\zeta(2)\) ■

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

관련된 항목들

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

수학용어번역

 

 

 

사전 형태의 자료

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

 


 

 

원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=이중적분과_바젤문제&oldid=25852"