이차잉여

수학노트
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개요

  • 정수 \(a\)를 소수 \(p\)로 나눈 나머지가 어떤 완전제곱수를 \(p\)로 나눈 나머지와 같으면 \(p\)에 대한 이차잉여라 한다
  • 소수 \(p\)에 대하여, 이차합동식 \(x^2\equiv a \pmod p\) 의 해의 개수에 관련된 문제로 볼 수 있다
  • 두 홀수인 소수 \(p,q\)가 서로의 법에 대한 이차잉여가 될 조건은 긴밀히 연관되어 있으며, 이를 이차잉여의 상호법칙이라 한다


이차잉여

예

군을 통한 이해

  • 소수 \(p\)에 대하여, \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times\)는 순환군이다
  • 순환군으로서의 생성원은 소수에 대한 원시근(primitive root) 목록 항목 참조
  • 이차잉여가 이루는 \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times\)의 부분집합은 곱셈에 대한 부분군이 된다

테이블

  • 처음 몇개의 소수에 대한 이차잉여와 비이차잉여

\[ \begin{array}{c|c|c} \text{} & \text{quadratic residue} & \text{quadratic non-residue} \\ \hline 2 & \{1\} & \{\} \\ 3 & \{1\} & \{2\} \\ 5 & \{1,4\} & \{2,3\} \\ 7 & \{1,2,4\} & \{3,5,6\} \\ 11 & \{1,3,4,5,9\} & \{2,6,7,8,10\} \\ 13 & \{1,3,4,9,10,12\} & \{2,5,6,7,8,11\} \\ 17 & \{1,2,4,8,9,13,15,16\} & \{3,5,6,7,10,11,12,14\} \\ 19 & \{1,4,5,6,7,9,11,16,17\} & \{2,3,8,10,12,13,14,15,18\} \\ 23 & \{1,2,3,4,6,8,9,12,13,16,18\} & \{5,7,10,11,14,15,17,19,20,21,22\} \\ 29 & \{1,4,5,6,7,9,13,16,20,22,23,24,25,28\} & \{2,3,8,10,11,12,14,15,17,18,19,21,26,27\} \end{array} \]


가우스 합

  • \(A,B\)를 다음과 같이 정의하자

\[A=\sum_{a\in QR} \zeta^a,\quad B=\sum_{a\in QNR} \zeta^a\] 다음이 성립한다 \[A+B=-1\] \[A-B=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a\]

  • \(A-B\)는 가우스 합 \(G(p)=\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}\)


디리클레 유수 공식의 응용

  • 7 이상의 소수 \(p \equiv 3 \pmod{4}\)를 생각하자
  • 이차수체 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})\) 라 두면, \(d_K=-p\)
  • 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}\), \(\chi(a)=\left(\frac{a}{p}\right)\) 를 정의하자.
  • \(p \equiv 3 \pmod{4}\) 이므로 \(\chi(-1)=-1\)이고, 디리클레 L-함수에서 다음을 얻는다

\[L(1,\chi)=\frac{i\pi \tau(\chi)}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\bar\chi(a)\frac{a}{p}=\frac{i\pi \tau(\chi)}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)\frac{a}{p}\]

\[L(1,\chi)=\frac{\pi h_K}{\sqrt p}\]

  • 가우스 합은 \(\tau (\chi)=i\sqrt p\) 이므로 위의 두 값을 비교하면,

\[h_K=\frac{\sqrt p }{\pi}\frac{i\pi\tau(\chi)}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)\frac{a}{p}=-\sum_{a=1}^{p-1}(\frac{a}{p})\frac{a}{p}\]

  • \(p=3\)이면 \(-\sum_{a=1}^{p-1}(\frac{a}{p})a=-1+2=1\)
  • 이로부터 소수 \(p \equiv 3 \pmod{4}\)에 대하여 기약잉여계 \(\{1,2,\cdots, p-1\}\)에서의 이차비잉여의 합이 이차잉여의 합보다 크다는 것을 알 수 있다.
  • \(p \equiv 1 \pmod{4}\)이면, 다음이 성립한다

\[ \sum_{a=1}^{p-1}(\frac{a}{p})a=0 \]


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


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