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==개요==
  
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* <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})</math>
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* 판별식 d=-20
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*  class number h=2
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** 기약형식 <math>{x^2+5 y^2,2 x^2+2 x y+3 y^2}</math>
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* [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)|타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)]]:<math> j(\sqrt{-5})=632000+282880 \sqrt{5}=(50+26\sqrt{5})^3</math>:<math>j(\frac {-1+\sqrt{-5}}{2})=632000-282880 \sqrt{5}=(50-26\sqrt{5})^3</math>
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* 힐버트 class field <math>K(\sqrt{5})=\mathbb{Q}(\sqrt{-5},\sqrt{5})</math>
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==<math>x^2+5y^2</math>로 표현되는 400까지의 소수==
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*  5, 29, 41, 61, 89, 101, 109, 149, 181, 229, 241, 269, 281, 349, 389
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==20으로 나눈 나머지가 1이나 9인 400까지의 소수==
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*  29, 41, 61, 89, 101, 109, 149, 181, 229, 241, 269, 281, 349, 389
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==<math>x^2+2 x y+3 y^2</math>로 표현되는 400까지의 소수==
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*  2, 3, 7, 23, 43, 47, 67, 83, 103, 107, 127, 163, 167, 223, 227, 263, 283, 307, 347, 367, 383
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==20으로 나눈 나머지가 3이나 7인 400까지의 소수==
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*  3, 7, 23, 43, 47, 67, 83, 103, 107, 127, 163, 167, 223, 227, 263, 283, 307, 347, 367, 383
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==<math>x^2-5 \pmod p</math> 의 분해==
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* 20으로 나눈 나머지가 1,3,7,9인 소수 p에 대한 <math>x^2-5 \pmod p</math>의 분해
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* 나머지가 1 또는 9인 경우에만 일차식으로 분해됨을 볼 수 있음
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* class field theory에 의해 예측할 수 있는 사실
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* 다음 목록은 "소수p, p를 20으로 나눈 나머지, 다항식 x^2-5의 mod p분해"
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3=3 mod 20, x^2-5=1+x^2 mod 3 7=7 mod 20, x^2-5=2+x^2 mod 7 23=3 mod 20, x^2-5=18+x^2 mod 23 29=9 mod 20, x^2-5=(11+x)(18+x) mod 29 41=1 mod 20, x^2-5=(13+x)(28+x) mod 41 43=3 mod 20, x^2-5=38+x^2 mod 43 47=7 mod 20, x^2-5=42+x^2 mod 47 61=1 mod 20, x^2-5=(26+x)(35+x) mod 61 67=7 mod 20, x^2-5=62+x^2 mod 67 83=3 mod 20, x^2-5=78+x^2 mod 83 89=9 mod 20, x^2-5=(19+x)(70+x) mod 89 101=1 mod 20, x^2-5=(45+x)(56+x) mod 101 103=3 mod 20, x^2-5=98+x^2 mod 103 107=7 mod 20, x^2-5=102+x^2 mod 107 109=9 mod 20, x^2-5=(21+x)(88+x) mod 109 127=7 mod 20, x^2-5=122+x^2 mod 127 149=9 mod 20, x^2-5=(68+x)(81+x) mod 149 163=3 mod 20, x^2-5=158+x^2 mod 163 167=7 mod 20, x^2-5=162+x^2 mod 167 181=1 mod 20, x^2-5=(27+x)(154+x) mod 181 223=3 mod 20, x^2-5=218+x^2 mod 223 227=7 mod 20, x^2-5=222+x^2 mod 227 229=9 mod 20, x^2-5=(66+x)(163+x) mod 229 241=1 mod 20, x^2-5=(103+x)(138+x) mod 241 263=3 mod 20, x^2-5=258+x^2 mod 263 269=9 mod 20, x^2-5=(126+x)(143+x) mod 269 281=1 mod 20, x^2-5=(75+x)(206+x) mod 281 283=3 mod 20, x^2-5=278+x^2 mod 283 307=7 mod 20, x^2-5=302+x^2 mod 307 347=7 mod 20, x^2-5=342+x^2 mod 347 349=9 mod 20, x^2-5=(62+x)(287+x) mod 349 367=7 mod 20, x^2-5=362+x^2 mod 367 383=3 mod 20, x^2-5=378+x^2 mod 383 389=9 mod 20, x^2-5=(86+x)(303+x) mod 389
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==역사==
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* [[수학사 연표]]
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==메모==
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==관련된 항목들==
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* [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxVEpGdUlBcFBITFU/edit
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* http://oeis.org/A033205
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[[분류:에세이]]

2020년 12월 28일 (월) 03:51 기준 최신판

개요

  • \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})\)
  • 판별식 d=-20
  • class number h=2
    • 기약형식 \({x^2+5 y^2,2 x^2+2 x y+3 y^2}\)
  • 타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)\[ j(\sqrt{-5})=632000+282880 \sqrt{5}=(50+26\sqrt{5})^3\]\[j(\frac {-1+\sqrt{-5}}{2})=632000-282880 \sqrt{5}=(50-26\sqrt{5})^3\]
  • 힐버트 class field \(K(\sqrt{5})=\mathbb{Q}(\sqrt{-5},\sqrt{5})\)




\(x^2+5y^2\)로 표현되는 400까지의 소수

  • 5, 29, 41, 61, 89, 101, 109, 149, 181, 229, 241, 269, 281, 349, 389



20으로 나눈 나머지가 1이나 9인 400까지의 소수

  • 29, 41, 61, 89, 101, 109, 149, 181, 229, 241, 269, 281, 349, 389




\(x^2+2 x y+3 y^2\)로 표현되는 400까지의 소수

  • 2, 3, 7, 23, 43, 47, 67, 83, 103, 107, 127, 163, 167, 223, 227, 263, 283, 307, 347, 367, 383



20으로 나눈 나머지가 3이나 7인 400까지의 소수

  • 3, 7, 23, 43, 47, 67, 83, 103, 107, 127, 163, 167, 223, 227, 263, 283, 307, 347, 367, 383



\(x^2-5 \pmod p\) 의 분해

  • 20으로 나눈 나머지가 1,3,7,9인 소수 p에 대한 \(x^2-5 \pmod p\)의 분해
  • 나머지가 1 또는 9인 경우에만 일차식으로 분해됨을 볼 수 있음
  • class field theory에 의해 예측할 수 있는 사실
  • 다음 목록은 "소수p, p를 20으로 나눈 나머지, 다항식 x^2-5의 mod p분해"


3=3 mod 20, x^2-5=1+x^2 mod 3 7=7 mod 20, x^2-5=2+x^2 mod 7 23=3 mod 20, x^2-5=18+x^2 mod 23 29=9 mod 20, x^2-5=(11+x)(18+x) mod 29 41=1 mod 20, x^2-5=(13+x)(28+x) mod 41 43=3 mod 20, x^2-5=38+x^2 mod 43 47=7 mod 20, x^2-5=42+x^2 mod 47 61=1 mod 20, x^2-5=(26+x)(35+x) mod 61 67=7 mod 20, x^2-5=62+x^2 mod 67 83=3 mod 20, x^2-5=78+x^2 mod 83 89=9 mod 20, x^2-5=(19+x)(70+x) mod 89 101=1 mod 20, x^2-5=(45+x)(56+x) mod 101 103=3 mod 20, x^2-5=98+x^2 mod 103 107=7 mod 20, x^2-5=102+x^2 mod 107 109=9 mod 20, x^2-5=(21+x)(88+x) mod 109 127=7 mod 20, x^2-5=122+x^2 mod 127 149=9 mod 20, x^2-5=(68+x)(81+x) mod 149 163=3 mod 20, x^2-5=158+x^2 mod 163 167=7 mod 20, x^2-5=162+x^2 mod 167 181=1 mod 20, x^2-5=(27+x)(154+x) mod 181 223=3 mod 20, x^2-5=218+x^2 mod 223 227=7 mod 20, x^2-5=222+x^2 mod 227 229=9 mod 20, x^2-5=(66+x)(163+x) mod 229 241=1 mod 20, x^2-5=(103+x)(138+x) mod 241 263=3 mod 20, x^2-5=258+x^2 mod 263 269=9 mod 20, x^2-5=(126+x)(143+x) mod 269 281=1 mod 20, x^2-5=(75+x)(206+x) mod 281 283=3 mod 20, x^2-5=278+x^2 mod 283 307=7 mod 20, x^2-5=302+x^2 mod 307 347=7 mod 20, x^2-5=342+x^2 mod 347 349=9 mod 20, x^2-5=(62+x)(287+x) mod 349 367=7 mod 20, x^2-5=362+x^2 mod 367 383=3 mod 20, x^2-5=378+x^2 mod 383 389=9 mod 20, x^2-5=(86+x)(303+x) mod 389



역사



메모

관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스

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