"자코비 형식"의 두 판 사이의 차이
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+ | * 다음을 만족시키는 함수 $\phi: \mathbb{H}\times \mathbb{C}\to \mathbb{C}$ 를 자코비 형식이라 한다 | ||
+ | ** $\phi\left(\frac{a\tau+b}{c\tau+d},\frac{z}{c\tau+d}\right) = (c\tau+d)^ke^{\frac{2\pi i mcz^2}{c\tau+d}}\phi(\tau,z)$ 여기서 ${a\ b\choose c\ d}\in SL_2(Z)$ | ||
+ | ** $\lambda, \mu\in \mathbb{Z}$에 대하여 $\phi(\tau,z+\lambda\tau+\mu) = e^{-2\pi i m(\lambda^2\tau+2\lambda z)}\phi(\tau,z)$ | ||
+ | ** 푸리에 전개 | ||
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+ | ==메모== | ||
+ | * http://www.math.mcgill.ca/goren/Montreal-Toronto/Victoria.pdf | ||
==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
* [[자코비 세타함수]] | * [[자코비 세타함수]] |
2012년 10월 25일 (목) 12:18 판
정의
- 2변수 함수로서의 정의
\begin{align*} % \theta_1(z;\tau) \theta_{11}(z;\tau) & = \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{\frac{1}{2} \left( n+ \frac{1}{2} \right)^2} \, \E^{2 \pi i \left(n+\frac{1}{2} \right) \, \left( z+\frac{1}{2} \right) } = - i \, \theta_1(z; \tau) , % \\ % & = % i \, q^{\frac{1}{8}} \, \E^{\pi \I z} \, % \left( % q, \E^{-2 \pi \I z}, \E^{2 \pi \I z} \, q % \right)_\infty \\[2mm] % % \theta_{2}(z;\tau) \theta_{10}(z;\tau) & = \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{\frac{1}{2} \left( n + \frac{1}{2} \right)^2} \, \E^{2 \pi i \left( n+\frac{1}{2} \right) z} = \theta_2(z;\tau) , \\[2mm] % % \theta_3 (z;\tau) \theta_{00} (z;\tau) & = \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{\frac{1}{2} n^2} \, \E^{2 \pi i n z} = \theta_3 (z;\tau) , \\[2mm] % % \theta_0 (z;\tau) \theta_{01} (z;\tau) & = \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{\frac{1}{2} n^2} \, \E^{2 \pi i n \left( z+\frac{1}{2} \right) } = \theta_4(z;\tau) , \end{align*}
모듈라 성질
\begin{equation} \begin{pmatrix} \theta_{11}(z;\tau) \\ \theta_{10}(z;\tau) \\ \theta_{00}(z;\tau) \\ \theta_{01}(z;\tau) \end{pmatrix}
= \sqrt{ \frac{i}{\tau} } \, \E^{- \pi i \frac{z^2}{\tau}} \, \begin{pmatrix} i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} \theta_{11}\left( \frac{z}{\tau}; -\frac{1}{\tau} \right) \\ \theta_{10}\left( \frac{z}{\tau}; -\frac{1}{\tau} \right) \\ \theta_{00}\left( \frac{z}{\tau}; -\frac{1}{\tau} \right) \\ \theta_{01}\left( \frac{z}{\tau}; -\frac{1}{\tau} \right) \end{pmatrix} .
\end{equation}
자코비 형식
- 다음을 만족시키는 함수 $\phi: \mathbb{H}\times \mathbb{C}\to \mathbb{C}$ 를 자코비 형식이라 한다
- $\phi\left(\frac{a\tau+b}{c\tau+d},\frac{z}{c\tau+d}\right) = (c\tau+d)^ke^{\frac{2\pi i mcz^2}{c\tau+d}}\phi(\tau,z)$ 여기서 ${a\ b\choose c\ d}\in SL_2(Z)$
- $\lambda, \mu\in \mathbb{Z}$에 대하여 $\phi(\tau,z+\lambda\tau+\mu) = e^{-2\pi i m(\lambda^2\tau+2\lambda z)}\phi(\tau,z)$
- 푸리에 전개