접속 (connection)

수학노트
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개요

  • 방향미분의 일반화
  • 벡터장 \({\mathbf v}\)와 벡터장 \( {\mathbf Y}\)에 대해서 정의되며, 또다른 벡터장 \(\nabla_{\mathbf v} {\mathbf Y}\) 을 얻는다
  • 크리스토펠 기호 를 사용하여 접속에 대한 구체적인 계산을 수행할 수 있다
  • $\Delta=d+A$

 

 

성질

  • 벡터장 \({\mathbf X},{\mathbf Y}\)와 함수 f에 대하여 다음 성질을 만족시킨다\[\begin{align}&\nabla_X(Y_1 + Y_2) = \nabla_XY_1 + \nabla_XY_2\\ &\nabla_{X_1 + X_2}Y = \nabla_{X_1}Y + \nabla_{X_2}Y\\ &\nabla_{X}(fY) = f\nabla_XY + X(f)Y\\ &\nabla_{fX}Y = f\nabla_XY\end{align}\]

 

 

접속 1형식

  • frame \(\{X_i\}\)에 대하여, 적당한 1-form \(\omega_{i}^{j}\)에 대하여, 다음과 같이 표현할수 있다\[\nabla X_i =\omega_{i}^{j}\otimes X_j\]
  • 여기서 1-form \(\omega_{i}^{j}\)는 벡터장 \({\mathbf v}\)에 대하여 다음을 만족시킴\[\nabla_{\mathbf v} X_i = (\nabla X_i)({\mathbf v})= \omega_{i}^{j}({\mathbf v})\otimes X_j\]
  • 이때의 \(\omega=(\omega_{i}^{j})\) 를 접속 1형식(1-form)이라고 부른다

 

 

곡률 2형식

  • 리만 곡률 텐서 의 일반화
  • \(\,\Omega=d\omega +\omega\wedge \omega\) 는 곡률 2형식(2-form) 이라 부른다

 

 

레비치비타 접속

  • 리만다양체에 정의되는 접속
  • frame \(\mathbf{e}=\{e_i\}\)
  • 접속형식을 통해서는 다음과 같이 표현할 수 있다\[\nabla_{e_i} e_j =\sum_{k=1}^{n} \omega_{j}^{k}(e_i) e_k\]
    즉 \( \omega_{j}^{k}(e_i)={\Gamma^k}_{ij}\)
  • 크리스토펠 기호를 통해 표현할수 있다\[\nabla_{e_i}e_j = \sum_{k=1}^n\Gamma_{ij}^ke_k\]

 

 

local expression

  • \(X=X^{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}\), \(Y=Y^{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}\)일 때,

\[\nabla_{X}Y = \sum_{k=1}^n\left( \sum_{i}X^{i} \frac{\partial Y^{k}}{\partial x^{i}}+\sum_{i,j}\Gamma_{ij}^k X^{i}Y^{j} \right)\frac{\partial}{\partial x^{k}}\]  

 

역사

 

메모

  • http://mathstat.carleton.ca/~ckfong/S43.pdf
  • Moussiaux, A., 와/과Ph. Tombal. 1988. “Geometric calculus: A new computational tool for Riemannian geometry”. International Journal of Theoretical Physics 27 (5): 613-621. doi:10.1007/BF0066884

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문

  • The Geometry of Connections
    • R. S. Millman and Ann K. Stehney, The American Mathematical Monthly, Vol. 80, No. 5 (May, 1973), pp. 475-500