체비셰프 다항식

제1종 체비세프 다항식

정의

$n \geq 0 $, 다음과 같은 점화식에 의해여, $T_n(x)$을 정의
$T_0(x) = 1 $
$T_1(x) = x$
$T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x). $

(정리)

$n \geq 1$일 때, $T_n(x)^2=1-x^2+T_{n-1}(x)T_{n+1}(x)$

(증명)

수학적 귀납법을 이용하자.

n=1 일 때 $T_0(x) = 1$, $T_1(x) = x$, $T_2(x) = 2x^2-1$ 이므로 성립한다.

일반적인 n 에 대하여,

$T_{n+1}T_{n-1}=(2xT_{n}-T_{n-1})(T_{n-1})=2xT_{n}T_{n-1}-T_{n-1}^2$

$=2xT_{n}T_{n-1}-(1-x^2+T_{n}T_{n-2})=T_{n}(2xT_{n-1}-T_{n-2})-1+x^2=T_{n}^2-1+x^2$ ■

삼각함수와의 관계

$T_n(\cos\theta)=\cos n\theta$
삼각함수

생성함수

생성함수

\[\sum_{n=0}^\infty T_n(x) {t^n}=\frac{1-tx}{1-2tx+t^2}\]

직교성

\[\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}= \begin{cases} 0 &: n\ne m \\ \pi &: n=m=0\\ \pi/2 &: n=m\ne 0 \end{cases}\]

제1종 체비셰프 다항식 목록

$$ \begin{array}{c|l} n & T_n(x) \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & x \\ 2 & 2 x^2-1 \\ 3 & 4 x^3-3 x \\ 4 & 8 x^4-8 x^2+1 \\ 5 & 16 x^5-20 x^3+5 x \\ 6 & 32 x^6-48 x^4+18 x^2-1 \\ 7 & 64 x^7-112 x^5+56 x^3-7 x \\ 8 & 128 x^8-256 x^6+160 x^4-32 x^2+1 \\ 9 & 256 x^9-576 x^7+432 x^5-120 x^3+9 x \\ 10 & 512 x^{10}-1280 x^8+1120 x^6-400 x^4+50 x^2-1 \\ 11 & 1024 x^{11}-2816 x^9+2816 x^7-1232 x^5+220 x^3-11 x \\ 12 & 2048 x^{12}-6144 x^{10}+6912 x^8-3584 x^6+840 x^4-72 x^2+1 \\ 13 & 4096 x^{13}-13312 x^{11}+16640 x^9-9984 x^7+2912 x^5-364 x^3+13 x \\ 14 & 8192 x^{14}-28672 x^{12}+39424 x^{10}-26880 x^8+9408 x^6-1568 x^4+98 x^2-1 \\ 15 & 16384 x^{15}-61440 x^{13}+92160 x^{11}-70400 x^9+28800 x^7-6048 x^5+560 x^3-15 x \end{array} $$

제2종 체비세프 다항식

$n \geq 0 $, 다음과 같은 점화식에 의해여, $U_n(x)$을 정의
$U_0(x) = 1$
$U_1(x) = 2x$
$U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x)$

(정리)

$n \geq 1$일 때, $U_n(x)^2=1+U_{n-1}(x)U_{n+1}(x)$

(증명)

수학적 귀납법을 이용하자.

n=1 일 때 $U_0(x) = 1$, $U_1(x) = 2x$, $U_2(x) = 4x^2-1$ 이므로 성립한다.

일반적인 n 에 대하여,

$U_{n+1}U_{n-1}=(2xU_{n}-U_{n-1})(U_{n-1})=2xU_{n}U_{n-1}-U_{n-1}^2$

$=2xU_{n}U_{n-1}-(1+U_{n}U_{n-2})=U_{n}(2xU_{n-1}-U_{n-2})-1=U_{n}^2-1$ ■

삼각함수와의 관계

$U_n(\cos\theta)= \frac{\sin (n+1)\theta}{\sin \theta}$
삼각함수

생성함수

생성함수

\[\sum_{n=0}^\infty U_n(x) {t^n}=\frac{1}{1-2tx+t^2}\]

제2종 체비셰프 다항식의 목록

$$ \begin{array}{c|l} n & U_n(x) \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 2 x \\ 2 & 4 x^2-1 \\ 3 & 8 x^3-4 x \\ 4 & 16 x^4-12 x^2+1 \\ 5 & 32 x^5-32 x^3+6 x \\ 6 & 64 x^6-80 x^4+24 x^2-1 \\ 7 & 128 x^7-192 x^5+80 x^3-8 x \\ 8 & 256 x^8-448 x^6+240 x^4-40 x^2+1 \\ 9 & 512 x^9-1024 x^7+672 x^5-160 x^3+10 x \\ 10 & 1024 x^{10}-2304 x^8+1792 x^6-560 x^4+60 x^2-1 \\ 11 & 2048 x^{11}-5120 x^9+4608 x^7-1792 x^5+280 x^3-12 x \\ 12 & 4096 x^{12}-11264 x^{10}+11520 x^8-5376 x^6+1120 x^4-84 x^2+1 \\ 13 & 8192 x^{13}-24576 x^{11}+28160 x^9-15360 x^7+4032 x^5-448 x^3+14 x \\ 14 & 16384 x^{14}-53248 x^{12}+67584 x^{10}-42240 x^8+13440 x^6-2016 x^4+112 x^2-1 \\ 15 & 32768 x^{15}-114688 x^{13}+159744 x^{11}-112640 x^9+42240 x^7-8064 x^5+672 x^3-16 x \end{array} $$

체비셰프 다항식

목차

제1종 체비세프 다항식

정의

삼각함수와의 관계

생성함수

직교성

제1종 체비셰프 다항식 목록

제2종 체비세프 다항식

삼각함수와의 관계

생성함수

제2종 체비셰프 다항식의 목록

삼각함수의 배각공식

역사

메모

관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전 형태의 자료

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