최대정수함수 (가우스함수)

개요

• 실수 x 에 대하여 \(\lfloor x\rfloor\)는 \(x\) 이하의 최대정수를 의미한다

• 예 \(\lfloor 0.8\rfloor=0\), \(\lfloor -0.2\rfloor=-1\)

에르미트 항등식

• 실수 $x$ 와 자연수 $n$에 대하여, 다음이 성립한다

\[\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+\frac{k}{n}\right\rfloor=\lfloor nx\rfloor\]

이차잉여에의 응용

• 서로 소인 두 홀수 $p,q>0$ 에 대하여 다음이 성립한다

\[\sum_{i=1}^{(p-1)/2}[\frac{iq}{p}]+\sum_{j=1}^{(q-1)/2}[\frac{jp}{q}]=\frac{(p-1)(q-1)}{4}\]

• 아이젠슈타인의 이차잉여의 상호법칙 증명 항목 참조

메모

• $[x]+[x+1/n]+......[x+n-1/n] = [nx]$

관련된 항목들

• 가우스의 보조정리(Gauss's lemma)
• 이차잉여의 상호법칙

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Floor_and_ceiling_functions
• http://en.wikipedia.org/wiki/Hermite's_identity