캐츠-무디 대수 (Kac-Moody algebra)

수학노트
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개요

  • 유한차원 simple 리대수의 확장
  • 카르탄 데이터와 세르 관계식 (Serre relations)  을 이용하여 정의
  • 무한 차원 리대수
  • 세 가지 타입으로 분류
    • finite type
    • affine type
    • indefinite type
  • 수학과 물리학의 여러 분야에서는 finite type, affine type의 캐츠-무디 대수가 중요한 역할을 한다

 

 

Cartan datum

Cartan datum \((A,P^{\vee},P,\Pi^{\vee},\Pi)\)

  • \(A=(a_{ij})_{i,j\in I}\) GCM
  • \(P^{\vee}=(\bigoplus_{i\in I}\mathbb{Z}h_{i})\bigoplus(\bigoplus_{j=1}^{\operatorname{corank}(A)}\mathbb{Z}d_{j})\) : dual weight lattice
  • \(\mathfrak{h}=\mathbb{Q}\otimes_{\mathbb{Z}} P^{\vee}\) : Cartan subalgebra
  • \(P=\{\lambda\in\mathfrak{h}^{*}|\lambda(P^{\vee})\subset \mathbb{Z}\}\) : weight lattice
  • \(\Pi^{\vee}=\{h_{i}|i\in I\}\) : simple coroots
  • \(\Pi=\{\alpha_{i}\in\mathfrak{h}^{*}|i\in I, \alpha_{i}(h_j)=a_{ji}\}\) : simple roots

key concepts

  • fundamental weights \(\{\Lambda_{i}\in\mathfrak{h}^{*}|i\in I, \Lambda_{i}(h_j)=\delta_{ij},\Lambda_{i}(d_j)=0\}\)
  • \(Q=\bigoplus_{i\in I}\mathbb{Z}\alpha_{i}\) : root lattice
  • Weyl group \(W=\langle r_{i}|i\in I\rangle\)

 

 

 

캐츠-무디 대수의 세르 관계식

  • 생성원 \(e_i,f_i , (i\in I)\), \(h\in \mathfrak{h}\)
  • 세르 관계식
    • \(\left[h,h'\right]=0\)
    • \(\left[e_i,f_j\right]=\delta _{i,j}h_i\)
    • \(\left[h,e_j\right]=\alpha_{j}(h)e_j\)
    • \(\left[h,f_j\right]=-\alpha_{j}(h)f_j\)
    • \(\left(\operatorname{ad} e_i\right)^{1-a_{i,j}}\left(e_j\right)=0\) (\(i\neq j\))
    • \(\left(\operatorname{ad} f_i\right)^{1-a_{i,j}}\left(f_j\right)=0\) (\(i\neq j\))

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

관련된 항목들

리뷰, 에세이, 강의노트

  • Helgason, Sigurdur. ‘A Centennial: Wilhelm Killing and the Exceptional Groups’. The Mathematical Intelligencer 12 (3): 54–57. doi:10.1007/BF03024019.
  • Coleman, A. J. ‘The Greatest Mathematical Paper of All Time’. The Mathematical Intelligencer 11 (3): 29–38. doi:10.1007/BF03025189.
  • Berman, Stephen, and Karen Hunger Parshall. ‘Victor Kac and Robert Moody: Their Paths to Kac-Moody Lie Algebras’. The Mathematical Intelligencer 24, no. 1 (13 January 2009): 50–60. doi:10.1007/BF03025312.
  • Dolan, Louise. ‘The Beacon of Kac-Moody Symmetry for Physics’. Notices of the American Mathematical Society 42, no. 12 (1995): 1489–95. http://www.ams.org/notices/199512/dolan.pdf
  • O’Raifeartaigh, L. ‘The Intertwining of Affine Kac–moody and Current Algebras’. International Journal of Modern Physics B 13, no. 24n25 (10 October 1999): 3009–20. doi:10.1142/S0217979299002824.

 


수학용어번역

  • Kac - 발음사전 Forvo