캐츠-무디 대수 (Kac-Moody algebra)

개요

• 유한차원 simple 리대수의 확장
• 카르탄 데이터와 세르 관계식 (Serre relations) 을 이용하여 정의
• 무한 차원 리대수
• 세 가지 타입으로 분류
  • finite type
  • affine type
  • indefinite type
• 수학과 물리학의 여러 분야에서는 finite type, affine type의 캐츠-무디 대수가 중요한 역할을 한다

Cartan datum

Cartan datum \((A,P^{\vee},P,\Pi^{\vee},\Pi)\)

• \(A=(a_{ij})_{i,j\in I}\) GCM
• \(P^{\vee}=(\bigoplus_{i\in I}\mathbb{Z}h_{i})\bigoplus(\bigoplus_{j=1}^{\operatorname{corank}(A)}\mathbb{Z}d_{j})\) : dual weight lattice
• \(\mathfrak{h}=\mathbb{Q}\otimes_{\mathbb{Z}} P^{\vee}\) : Cartan subalgebra
• \(P=\{\lambda\in\mathfrak{h}^{*}|\lambda(P^{\vee})\subset \mathbb{Z}\}\) : weight lattice
• \(\Pi^{\vee}=\{h_{i}|i\in I\}\) : simple coroots
• \(\Pi=\{\alpha_{i}\in\mathfrak{h}^{*}|i\in I, \alpha_{i}(h_j)=a_{ji}\}\) : simple roots

key concepts

• fundamental weights \(\{\Lambda_{i}\in\mathfrak{h}^{*}|i\in I, \Lambda_{i}(h_j)=\delta_{ij},\Lambda_{i}(d_j)=0\}\)
• \(Q=\bigoplus_{i\in I}\mathbb{Z}\alpha_{i}\) : root lattice
• Weyl group \(W=\langle r_{i}|i\in I\rangle\)

캐츠-무디 대수의 세르 관계식

• 생성원 \(e_i,f_i , (i\in I)\), \(h\in \mathfrak{h}\)
• 세르 관계식
  • \(\left[h,h'\right]=0\)
  • \(\left[e_i,f_j\right]=\delta _{i,j}h_i\)
  • \(\left[h,e_j\right]=\alpha_{j}(h)e_j\)
  • \(\left[h,f_j\right]=-\alpha_{j}(h)f_j\)
  • \(\left(\operatorname{ad} e_i\right)^{1-a_{i,j}}\left(e_j\right)=0\) (\(i\neq j\))
  • \(\left(\operatorname{ad} f_i\right)^{1-a_{i,j}}\left(f_j\right)=0\) (\(i\neq j\))

• 세르 관계식 (Serre relations)

메모

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

리뷰, 에세이, 강의노트

• Helgason, Sigurdur. ‘A Centennial: Wilhelm Killing and the Exceptional Groups’. The Mathematical Intelligencer 12 (3): 54–57. doi:10.1007/BF03024019.
• Coleman, A. J. ‘The Greatest Mathematical Paper of All Time’. The Mathematical Intelligencer 11 (3): 29–38. doi:10.1007/BF03025189.
• Berman, Stephen, and Karen Hunger Parshall. ‘Victor Kac and Robert Moody: Their Paths to Kac-Moody Lie Algebras’. The Mathematical Intelligencer 24, no. 1 (13 January 2009): 50–60. doi:10.1007/BF03025312.
• Dolan, Louise. ‘The Beacon of Kac-Moody Symmetry for Physics’. Notices of the American Mathematical Society 42, no. 12 (1995): 1489–95. http://www.ams.org/notices/199512/dolan.pdf
• O’Raifeartaigh, L. ‘The Intertwining of Affine Kac–moody and Current Algebras’. International Journal of Modern Physics B 13, no. 24n25 (10 October 1999): 3009–20. doi:10.1142/S0217979299002824.

수학용어번역

• Kac - 발음사전 Forvo