타니야마-시무라 추측(정리)

수학노트
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개요

  • 유리수체 위에 정의된 타원 곡선의 Hasse-Weil L-함수와 weight 2인 모듈라 형식의 관계
  • 'every elliptic curve over Q (the field of rational numbers) is modular'
  • 페르마의 마지막 정리의 증명에 사용


Weil의 역 정리

예1. 타원곡선 \(E: y^2=x^3-4x^2+16\)

  • 타원곡선\[E: y^2=x^3-4x^2+16\] conductor = 11
  • 유한체 위의 해의 개수

\[E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|y^2=x^3-4x^2+16\}\cup \{(\infty,\infty)\}\] \[M_p=\#E(\mathbb{F}_p)\] \[a_p=p+1-M_p\]

\[ \begin{aligned} f(\tau)& ={\eta(\tau)^2\eta(11\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})^2(1-q^{11n})^2\\ {}& =\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{2 }- q^{3 }+ 2 q^{4 }+ q^{5 }+ 2 q^{6 }- 2 q^{7 }- 2 q^{9 }- 2 q^{10 }+ q^{11 }- 2 q^{12 }+ 4 q^{13 }+ 4 q^{14 }- q^{15 }- 4 q^{16 }- 2 q^{17}+\cdots \end{aligned} \]

  • 다음 표는 소수 \(p\)에 대하여 각각 위에서 정의한 \(p,a_p,c_p\) 를 나타냄. \(a_p=c_p\) 이 일반적으로 성립함을 볼 수 있음

\[\begin{array}{c|c|c} p & {a_p} & c_p \\ 2 & -1 & -2 \\ 3 & -1 & -1 \\ 5 & 1 & 1 \\ 7 & -2 & -2 \\ 11 & 1 & 1 \\ 13 & 4 & 4 \\ 17 & -2 & -2 \\ 19 & 0 & 0 \\ 23 & -1 & -1 \\ 29 & 0 & 0 \\ 31 & 7 & 7 \\ 37 & 3 & 3 \\ 41 & -8 & -8 \\ 43 & -6 & -6 \\ 47 & 8 & 8 \\ 53 & -6 & -6 \\ 59 & 5 & 5 \\ 61 & 12 & 12 \\ 67 & -7 & -7 \\ 71 & -3 & -3 \end{array} \]



예2. 타원곡선 \(E: y^2=x^3+x^2+4x+4\)

  • 타원곡선\[E: y^2=x^3+x^2+4x+4\] conductor = 20
  • 유한체 위의 해의 개수

\[E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|E: y^2=x^3+x^2+4x+4\}\cup \{(\infty,\infty)\}\] \[M_p=\#E(\mathbb{F}_p)\] \[a_p=p+1-M_p\]

\[ \begin{aligned} f(\tau)& ={\eta(2\tau)^2\eta(10\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{2n})^2(1-q^{10n})^2\\ {}&=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{3 }- q^{5 }+ 2 q^{7 }+ q^{9 }+ 2 q^{13 }+ 2 q^{15 }- 6 q^{17 }- 4 q^{19 }- 4 q^{21 }+ 6 q^{23 }+\cdots \end{aligned} \]

  • 다음 표는 소수 \(p\)에 대하여 \(p,a_p,c_p\) 를 나타냄. \(a_p=c_p\) 임을 볼 수 있음

\[ \begin{array}{c|c|c} p & a_p & c_p \\ 2 & 0 & 0 \\ 3 & -2 & -2 \\ 5 & -1 & -1 \\ 7 & 2 & 2 \\ 11 & 0 & 0 \\ 13 & 2 & 2 \\ 17 & -6 & -6 \\ 19 & -4 & -4 \\ 23 & 6 & 6 \\ 29 & 6 & 6 \\ 31 & -4 & -4 \\ 37 & 2 & 2 \\ 41 & 6 & 6 \\ 43 & -10 & -10 \\ 47 & -6 & -6 \\ 53 & -6 & -6 \\ 59 & 12 & 12 \\ 61 & 2 & 2 \\ 67 & 2 & 2 \\ 71 & -12 & -12 \end{array} \]



예3

  • 타원곡선 \[y^2=x^3-x\]
  • 모듈라 형식

\[ \begin{aligned} f(\tau)&={\eta(4\tau)^2\eta(8\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{4n})^2(1-q^{8n})^2\\ {}&=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{5 }-3q^9+6q^{13}+2q^{17}+\cdots \end{aligned} \]


modularity theorem


역사



메모

  • every elliptic curve over the rational field can be found in the Jacobian variety of the curve which parametrizes elliptic curves with level structure its conductor


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트

  • Lang, Serge. 1995. “Some History of the Shimura-Taniyama Conjecture.” Notices of the American Mathematical Society 42 (11): 1301–1307.
  • Gouvêa, Fernando Q. 1994. “‘A Marvelous Proof.’” The American Mathematical Monthly 101 (3): 203–222. doi:10.2307/2975598.
  • Mazur, B. 1991. “Number Theory as Gadfly.” The American Mathematical Monthly 98 (7): 593–610. doi:10.2307/2324924.


관련논문



관련도서

  • Diamond, Fred. 2005. A First Course in Modular Forms. Springer.