"포락선(envelope)과 curve stitching"의 두 판 사이의 차이

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Curve Stitching 또는 String Art 라는 이름으로 불림
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* "one-parameter family 에 있는 모든 곡선에 적어도 한 점에서 접하는 성질을 갖는" 곡선
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*  이러한 곡선을 주어진 곡선의 family에 대한 [http://en.wikipedia.org/wiki/Envelope_%28mathematics%29 envelope] 이라 부른다.<br>
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* Curve Stitching 또는 String Art 라는 이름으로 불림
  
 
 
 
 
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* 곡선들이 파라메터 t 에 의해 <math>F(x,y,t)=0</math> 로 주어진다고 가정하자.
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*  envelope은 다음 연립방정식을 풀어 얻을 수 있다.<br><math>\left\{ \begin{array}{c}  F(x,y,t)=0 \\ \frac{\partial F}{\partial t}(x,y,t)=0 \end{array} \right.</math><br>
  
 
 
 
 
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<math>\frac{x}{t}+\frac{y}{10-t}=1</math>,  <math>t=1,\cdots, 9</math> 로 주어진다.
  
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문제는 "one-parameter family 에 있는 모든 곡선에 적어도 한 점에서 접하는 성질을 갖는" 곡선을 찾는 것이다.
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위의 공식을 적용해 보자.
  
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이런 곡선을 주어진 곡선의 family에 대한 [http://en.wikipedia.org/wiki/Envelope_%28mathematics%29 envelope] 이라 부른다.
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<math>F(x,y,t)=t^2 + t(y-x-10) + 10x</math>
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<math>\frac{\partial F(x,y,t)}{\partial t}=2t+ y-x-10</math>
  
 
 
 
 
  
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이 경우엔, 다음 두 방정식에서 t를 소거함으로써 얻을 수 있다.
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따라서 envelope은 다음 두 방정식에서 t를 소거함으로써 얻을 수 있다.
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<math>F(x,y,t)=t^2 + t(y-x-10) + 10x = 0\,</math>
 
  
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<math>\frac{\partial F(x,y,t)}{\partial t}=2t+ y-x-10 = 0\,</math>
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<math>\left\{ \begin{array}{c} t^2 + t(y-x-10) + 10x=0 \\ \frac{\partial F}{\partial t}(x,y,t)=0 \end{array} \right.</math>
  
 
 
 
 
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http://playingwithmathematica.com/2011/04/27/curve-stitching-with-mathematica/
 
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http://www.wikihow.com/Create-a-Line-Design
 
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Envelopes and String Art (Gregory Quenell) http://faculty.plattsburgh.edu/gregory.quenell/pubpdf/stringart.pdf
 
Envelopes and String Art (Gregory Quenell) http://faculty.plattsburgh.edu/gregory.quenell/pubpdf/stringart.pdf
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
 
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2012년 8월 2일 (목) 14:51 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • "one-parameter family 에 있는 모든 곡선에 적어도 한 점에서 접하는 성질을 갖는" 곡선
  • 이러한 곡선을 주어진 곡선의 family에 대한 envelope 이라 부른다.
  • Curve Stitching 또는 String Art 라는 이름으로 불림

 

 

envelope 
  • 곡선들이 파라메터 t 에 의해 \(F(x,y,t)=0\) 로 주어진다고 가정하자.
  • envelope은 다음 연립방정식을 풀어 얻을 수 있다.
    \(\left\{ \begin{array}{c} F(x,y,t)=0 \\ \frac{\partial F}{\partial t}(x,y,t)=0 \end{array} \right.\)

 

 

예1

[/pages/9431928/attachments/5587508 parabola1.gif]

그림을 보면, 이 직선들에 접하는 곡선이 나타나는 것을 관찰할 수 있다.

 

등장하는 직선들은,

\(\frac{x}{t}+\frac{y}{10-t}=1\),  \(t=1,\cdots, 9\) 로 주어진다.

위의 공식을 적용해 보자.

\(F(x,y,t)=t^2 + t(y-x-10) + 10x\)

\(\frac{\partial F(x,y,t)}{\partial t}=2t+ y-x-10\)

 

따라서 envelope은 다음 두 방정식에서 t를 소거함으로써 얻을 수 있다.

\(\left\{ \begin{array}{c} t^2 + t(y-x-10) + 10x=0 \\ \frac{\partial F}{\partial t}(x,y,t)=0 \end{array} \right.\)

 

따라서 \(x^2-2 x y-20 x+y^2-20 y+100=0\) 를 얻는다. 이는 이차곡선(원뿔곡선) 으로 판별식 \(\Delta=b^2-4ac=4-4=0\) 인, 포물선이 된다.

 

[/pages/9431928/attachments/5587494 parabola2.gif]

 

 

 

 

 

역사

 

 

 

메모

http://playingwithmathematica.com/2011/04/27/curve-stitching-with-mathematica/

http://britton.disted.camosun.bc.ca/string_art/jbstringart.htm

http://www.wikihow.com/Create-a-Line-Design

 

베지에 곡선

http://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zier_curve#Quadratic_curves

 

 

예

parabolic line construction

http://demonstrations.wolfram.com/CircleChordEnvelope/

 

 

envelope

http://en.wikipedia.org/wiki/Envelope_(mathematics)

http://jwilson.coe.uga.edu/Texts.Folder/Envel/envelopes.html

 

envelope equation

http://www.sjsu.edu/faculty/watkins/envelopetheo.htm

 

Envelopes and String Art (Gregory Quenell) http://faculty.plattsburgh.edu/gregory.quenell/pubpdf/stringart.pdf

 

 

관련된 항목들

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

수학용어번역

 

 

 

사전 형태의 자료

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

 

관련논문

 

 

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