푸앵카레 상반평면 모델

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 12월 4일 (금) 20:29 판 (피타고라스님이 이 페이지의 이름을 푸앵카레 상반평면 모델로 바꾸었습니다.)
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개요
  • 쌍곡기하학의 모델

 

  • \(\mathbb{H}^2=\{z=x+iy\in\mathbb{C}|y>0\}\)
  • 리만 메트릭
    \(ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}=\frac{dzd\overline{z}}{y^2}\)
  • 면적소
    \(dA=\frac{dx\,dy}{y^2}\)
  • 두 점 사이의 거리
    \(\rho(z_1,z_2)=2\tanh^{-1}\frac{|z_1-z_2|}{|z_1-\overline{z_2}|}\)
  • isometry 군
    \(\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})\rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)
  • 가우스곡률 -1
  • 라플라시안
    \(\Delta=-y^2(\partial_x^2+\partial_y^2)\)

 

 

측지선

 

 

 

삼각형의 넓이

 

[/pages/3065168/attachments/2616929 hyperbolic_triangle.jpg]

  • 이상삼각형(ideal triangle) \(D=pq\infty\)의 넓이
    \(x(P)\) 를 점 \(P\)의 \(x\)좌표라 하고, \(x(p)=a\), \(x(q)=b\)라 두자.
    \(A(D)=\int\int_{D}\frac{dx\,dy}{y^2}=\int_{a}^{b}\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\infty}\frac{dy\,dx}{y^2}=\int_{a}^{b}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=-\int_{\pi-\alpha}^{\beta+\beta'}\,d\theta=\pi-\alpha-\beta-\beta'\)
    \(x=\cos \theta\)로 치환, \(a=\cos (\pi-\alpha)\), \(b=\cos (\beta+\beta')\)을 사용하였음
  • 이상삼각형(ideal triangle) \(D'=rq\infty\)의 넓이
    위에서 얻은 결과를 적용할 수 있다
    \(A(D')=\pi-(\pi-\gamma)-\beta'=\gamma-\beta'\)

 

(정리)

세 각이 \(\alpha, \beta, \gamma\)인 쌍곡삼각형 \(\Delta\)의 넓이는 \(\pi - \alpha- \beta- \gamma\) 로 주어진다

 

(증명)

\(A(\Delta)=A(D)-A(D')\)

 

 

 

테셀레이션

[/pages/3065168/attachments/2600953 dedekind1877.gif]

 

 

 

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