프로베니우스 원소

개요

$K$ : 수체
$K/\mathbb{Q}$ : 갈루아 체확장
$p$ : unramified prime
$\mathfrak{p}\mid p$
$\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}(a)\equiv a^p\pmod{\mathfrak{p}}$ 를 만족하는 유일한 $\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}\in \operatorname{Gal}(k_ {\mathfrak{p}}/\mathbf{F}_p)$ 가 존재한다

$\operatorname{Frob}_{\sigma\mathfrak{p}} = \sigma\operatorname{Frob}_ {\mathfrak{p}}\sigma^{-1}$
$\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ 에서의 conjugacy class를 정의
$\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$가 아벨군인 경우, $\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}$ 는 $\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$의 원소 $\sigma_{p}=\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}$ 를 정의함

$K = \mathbb Q(\sqrt{d})$
p는 unramified
$\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{1,-1\}$ 로 두면, $\sigma_{p}=\left(\tfrac{d}{p}\right)$