프로이덴탈 중복도 공식 (Freudenthal multiplicity formula)

개요

• 유한차원 단순리대수의 유한차원표현 \(V\)에 대하여, $V_{\mu}$를 weight $\mu \in P$에 대응되는 $V$의 weight space라 하자

정리 (프로이덴탈)

$\lambda$를 highest weight으로 갖는 유한차원 기약표현 $V=L(\lambda)$에 대하여 $m_{\mu}:=\dim{V_{\mu}}$는 다음을 만족한다 $$ (||\lambda+\rho||^2-||\mu+\rho||^2)m_{\mu}=2\sum_{\alpha\in \Delta_{+}}\sum_{j\geq 1}(\mu+j\alpha,\alpha)m_{\mu+j\alpha} $$