피타고라스 쌍(Pythagorean triple)

개요

• <math>a^2+b^2=c^2</math>를 만족시키는 자연수쌍 <math>(a,b,c)</math>

정리

• 부정방정식 <math>a^2+b^2=c^2</math> 의 모든 정수해는, 정수 <math>p, q</math> 에 대하여 <math>(p^2 - q^2, 2pq, p^2 + q^2)</math> 꼴로 나타낼 수 있다.

증명

<math>x^2+y^2=z^2</math>의 정수해를 모두 구하면 된다.

<math>z \neq0</math> 을 가정하면, <math>x^2+y^2=z^2</math> 의 서로소인 정수해는 단위원 <math>x^2+y^2=1</math> 상의 유리수해와 일대일대응된다.

단위원과 <math>(-1,0)</math> 를 지나는 기울기가 유리수 <math>t=\frac{q}{p}</math> (<math>p,q</math>는 서로소) 인 직선의 교점을 생각하자.

교점의 좌표는 <math>(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})</math> 로 주어진다. 여기서 <math>\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{p^2-q^2}{p^2+q^2}</math>, <math>\frac{2t}{1+t^2}=\frac{2pq}{p^2+q^2}</math>를 얻는다.

따라서 정수해 <math>(p^2 - q^2, 2pq, p^2 + q^2)</math> 를 얻는다.

역사

• 수학사 연표

메모

• Noam D. Elkies, Pythagorean triples and Hilbert's Theorem 90

관련된 항목들

• 피타고라스의 정리
• 피타고라스

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

메타데이터

위키데이터

• ID : Q208225

Spacy 패턴 목록

• [{'LOWER': 'pythagorean'}, {'LEMMA': 'triple'}]
• [{'LOWER': 'pythagorean'}, {'LEMMA': 'triple'}]