해밀턴의 사원수(quarternions)

수학노트
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개요

  • 복소수는 \(i^2=-1\) 을 만족시키는 수를 가지고 실수를 확장하여 얻어짐.
  • 복소수는 2차원의 회전을 공부하는데 유용함.
  • 해밀턴은 3차원에서의 회전을 잘 표현할 수 있는 수 체계를 찾으려 하였으나, 오랜 시간의 실패를 경험
  • 1843년 마침내 4차원에서 복소수에 대응될만한 수체계를 발견함.
  • 4차원 normed 나눗셈 대수



정의

  • 4원수란 \(a+bi+cj+dk\) 형태의 수(a,b,c,d는 실수) 이다.
  • 여기서 \(a,b,c,d\) 는 실수, \(i,j,k\) 는 곱셈에 대하여 다음과 같은 성질을 만족시키는 심볼
    • \(i^2 = j^2 = k^2 = -1\)
    • \(ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j\)
  • 사원수의 곱셈은 교환법칙을 만족시키지 않는다.
  • 모든 4원수들의 집합을 \(\mathbb{H}\) 로 보통 표현한다.



군론과의 관계

  • \(\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}\) 는 차수가 8인 군의 구조를 이룸
  • 곱셈표는 다음과 같이 읽음

\begin{array}{c|c} \cdot & b \\ \hline a & a\cdot b \end{array}

\begin{array}{c|cccccccc} & 1 & i & j & k & -1 & -i & -j & -k \\ \hline 1 & 1 & i & j & k & -1 & -i & -j & -k \\ i & i & -1 & k & -j & -i & 1 & -k & j \\ j & j & -k & -1 & i & -j & k & 1 & -i \\ k & k & j & -i & -1 & -k & -j & i & 1 \\ -1 & -1 & -i & -j & -k & 1 & i & j & k \\ -i & -i & 1 & -k & j & i & -1 & k & -j \\ -j & -j & k & 1 & -i & j & -k & -1 & i \\ -k & -k & -j & i & 1 & k & j & -i & -1 \end{array}

외적과의 관계

  • 사원수의 곱셈은 3차원 벡터의 내적, 외적과 다음과 같은 관계를 가진다.
  • 사원수 \(a+x_1i+x_2j+x_3k\)를 \(\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\)로 두어 \((a,\mathbf{x)}\)로 쓰자.
  • \((a+x_1i+x_2j+x_3k)\cdot (b+y_1i+y_2j+y_3k)=(a,\mathbf{x)}\cdot(b,\mathbf{y)}=(ab-\mathbf{x}\cdot\mathbf{y},a\mathbf{y}+b\mathbf{x}+\mathbf{x}\times\mathbf{y})\)
  • 여기서 \(\times\) 는 3차원 벡터의 외적



3차원 기하학과의 관계

  • 단위 사원수 \(q\) 에 대하여, 3차원 벡터\((x,y,z)\) 에 다음과 같이 작용하는 연산을 생각하자.
    • \(q(xi+yj+zk)q^{-1}\)
  • 이러한 연산은, 3차원의 회전변환으로 작용한다.


  • 사원수 \(a+b i+c j+d k\) 를 복소행렬 \(\begin{pmatrix}a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{pmatrix}\) 에 대응시키면 단위사원수와 SU(2) 사이에 isomorphism 을 얻는다.



파울리 행렬과의 관계

\(\sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \)

\(\sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix} \)

\(\sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\)

\(\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = -i\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I\)


\(1 \mapsto 1, i \mapsto \sigma_1 \sigma_2, j \mapsto \sigma_3 \sigma_1, k \mapsto \sigma_2 \sigma_3\)



메모

뫼비우스 변환군과 기하학



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료


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