1부터 n까지의 최소공배수

개요

• \(d_n\)을 1부터 n 까지의 자연수의 최소공배수라 두면, \(d_n \approx e^n\)

패리수열과의 관계

• 패리 수열(Farey series)
• 1부터 n 까지의 자연수의 최소공배수 \(\operatorname{LCM}(n)\) 은, 다음과 같은 곱으로 표현할 수 있다\[\text{LCM}(n)=\prod _{r\in F_n} 2\sin \pi r\]

크기

\(d_n = \prod_{\substack{p\le n\\ p \mathrm{\ prime}}} p^{\lfloor \log_p n \rfloor} \le \prod_{\substack{p\le n\\ p \mathrm{\ prime}}} p^ {\log_p n} = \prod_{\substack{p\le n\\ p \mathrm{\ prime}}} n = n^{\pi(n)}\approx n^{n/\log n}=e^n\)

\(d_n<2.99^n\)

• 응용으로 ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리) 항목 참조

이항계수

• 이항계수와 조합
• 1부터 n+1 까지의 자연수의 최소공배수를 \(\operatorname{LCM}(n+1)\) 라 두면, 다음이 성립한다\[\frac{\operatorname{LCM}(n+1)}{n+1}=\operatorname{LCM}({n\choose 0}\cdots {n\choose n})\]

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

관련된 항목들

• ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)
• 최대공약수

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxRGs2WmtkMGxRZHluYXRoR2RrODlpdw

관련논문

• Hong, Shaofang. 2009. “Nair’s and Farhi’s identities involving the least common multiple of binomial coefficients are equivalent”. 0907.3401 (7월 20). [1]http://arxiv.org/abs/0907.3401
• Farhi, Bakir, 와/과Daniel Kane. 2008. “New results on the least common multiple of consecutive integers”. 0808.1507 (8월 11). http://arxiv.org/abs/0808.1507
• Hanson, Denis. 1972. “On the product of the primes”. <full_title>Canadian Mathematical Bulletin</full_title> <full_title>Bulletin canadien de mathématiques</full_title> 15 (0): 33-37. doi:10.4153/CMB-1972-007-7.