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*  (Durfee rectangle identity)<br><math>l \in \mathbb{N}</math>,<br><math>\sum_{n,m\geq 0, n-m=l}\frac{q^{nm}}{(q)_n(q)_m}=\frac{1}{(q)_{\infty}}</math> 또는<br><math>\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n+l)}}{(q)_n(q)_{n+l}}=\frac{1}{(q)_{\infty}}</math><br>
 
*  (Durfee rectangle identity)<br><math>l \in \mathbb{N}</math>,<br><math>\sum_{n,m\geq 0, n-m=l}\frac{q^{nm}}{(q)_n(q)_m}=\frac{1}{(q)_{\infty}}</math> 또는<br><math>\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n+l)}}{(q)_n(q)_{n+l}}=\frac{1}{(q)_{\infty}}</math><br>
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<math>\frac{\sum_{l\geq 0}q^{\frac{a}{2}l^2+bl+c}}{(q)_{\infty}}=\sum_{n,m\geq 0}\frac{q^{\frac{1}{2}(an^2+(2-2a)mn+am^2)+b(n-m)+c}}{(q)_n(q)_m}</math>
 
<math>\frac{\sum_{l\geq 0}q^{\frac{a}{2}l^2+bl+c}}{(q)_{\infty}}=\sum_{n,m\geq 0}\frac{q^{\frac{1}{2}(an^2+(2-2a)mn+am^2)+b(n-m)+c}}{(q)_n(q)_m}</math>
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
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2012년 10월 31일 (수) 09:35 판

==이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

==개요

  • (Durfee rectangle identity)
    \(l \in \mathbb{N}\),
    \(\sum_{n,m\geq 0, n-m=l}\frac{q^{nm}}{(q)_n(q)_m}=\frac{1}{(q)_{\infty}}\) 또는
    \(\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n+l)}}{(q)_n(q)_{n+l}}=\frac{1}{(q)_{\infty}}\)

 

(증명)

q-가우스 합 을 이용하자.

\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a,q)_{n}(b,q)_{n}}{(c ,q)_{n}(q ,q)_{n}}(\frac{c}{ab})^{n}=\frac{(c/a;q)_{\infty}(c/b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(c/(ab);q)_{\infty}}\)

여기서 \(a\to\infty, b\to\infty,c=q^l\) 로 두면, 원하는 항등식을 얻는다. ■

 

 

(따름정리)

 

\(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = 1+\sum_{n=1}\frac{q^{n^2}}{(1-q)^2(1-q^2)^2\cdots(1-q^n)^2}\)

 

 

 

(증명)

 

http://cfranc.wordpress.com/2009/11/24/an-identity-of-ramanujan/ ■

 

 

 

 

==응용

\(\frac{\sum_{l\geq 0}q^{\frac{a}{2}l^2+bl+c}}{(q)_{\infty}}=\sum_{n,m\geq 0}\frac{q^{\frac{1}{2}(an^2+(2-2a)mn+am^2)+b(n-m)+c}}{(q)_n(q)_m}\)

(pf)

\(\frac{\sum_{l\geq 0}q^{\frac{a}{2}l^2+bl+c}}{(q)_{\infty}}=\sum_{l\geq 0}\frac{q^{\frac{a}{2}l^2+bl+c}}{(q)_{\infty}}\)

\(l=n-m\) 로 두면, 

\(=\sum_{l\geq 0}\sum_{n,m\geq 0, n-m=l}\frac{q^{\frac{a}{2}l^2+bl+c}q^{nm}}{(q)_n(q)_m}\)

\(=\sum_{n,m\geq 0}\frac{q^{nm+\frac{a}{2}(n-m)^2+b(n-m)+c}}{(q)_n(q)_m}=\sum_{n,m\geq 0}\frac{q^{\frac{1}{2}(an^2+(2-2a)mn+am^2)+b(n-m)+c}}{(q)_n(q)_m}\)

■

 

 

 

http://www.springerlink.com/content/l842207736576587/

http://siba-ese.unisalento.it/index.php/quadmat/article/download/6953/6317

 

 

==역사

 

 

 

==메모

 

 

 

==관련된 항목들

 

 

==수학용어번역

 

 

==매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

==사전 형태의 자료

 

 

==리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

 

==관련논문

 

 

==관련도서

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