"P진 감마함수(p-adic gamma function)"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
10번째 줄: 10번째 줄:
 
* 이를 <math>\mathbb{Z}_p</math>로 연속함수로 확장하여, p-adic 감마함수를 얻음
 
* 이를 <math>\mathbb{Z}_p</math>로 연속함수로 확장하여, p-adic 감마함수를 얻음
 
   
 
   
 +
==예==
 +
* $p=3$인 경우
 +
$$
 +
\begin{array}{c|c}
 +
n & \Gamma _3(n) \\
 +
\hline
 +
-10 & -\frac{1}{22400} \\
 +
-9 & -\frac{1}{2240} \\
 +
-8 & \frac{1}{2240} \\
 +
-7 & \frac{1}{280} \\
 +
-6 & \frac{1}{40} \\
 +
-5 & -\frac{1}{40} \\
 +
-4 & -\frac{1}{8} \\
 +
-3 & -\frac{1}{2} \\
 +
-2 & \frac{1}{2} \\
 +
-1 & 1 \\
 +
0 & 1 \\
 +
1 & -1 \\
 +
2 & 1 \\
 +
3 & -2 \\
 +
4 & 2 \\
 +
5 & -8 \\
 +
6 & 40 \\
 +
7 & -40 \\
 +
8 & 280 \\
 +
9 & -2240 \\
 +
10 & 2240
 +
\end{array}
 +
$$
 +
  
 
==기본적인 성질==
 
==기본적인 성질==
16번째 줄: 46번째 줄:
 
* <math>x \equiv y \pmod {p^r}</math> 이면 <math>\Gamma_p(x)\equiv \Gamma_p(y) \pmod {p^r}</math>
 
* <math>x \equiv y \pmod {p^r}</math> 이면 <math>\Gamma_p(x)\equiv \Gamma_p(y) \pmod {p^r}</math>
 
* <math>p>3</math> 이면 <math>|\Gamma_p(x)-\Gamma_p(y)|_p \leq |x-y|_p</math>
 
* <math>p>3</math> 이면 <math>|\Gamma_p(x)-\Gamma_p(y)|_p \leq |x-y|_p</math>
 +
===테이블===
 +
* 소수 $p$와 정수 $x$에 대하여, $\operatorname{ord}_p x$를 $a\equiv 0\pmod {p^m}$을 만족하는 최대의 $m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$으로 정의하자
 +
* 유리수 $x=a/b$에 대해서는 $\operatorname{ord}_p x:=\operatorname{ord}_p a-\operatorname{ord}_p b$
  
 +
$$
 +
\begin{array}{c|c|c}
 +
\{x,y\} & \operatorname{ord}_5 (x-y) & \operatorname{ord}_5 \left(\Gamma _5(x)-\Gamma _5(y)\right) \\
 +
\hline
 +
\{-5,-4\} & 0 & 0 \\
 +
\{-5,-3\} & 0 & 1 \\
 +
\{-5,-2\} & 0 & 0 \\
 +
\{-5,-1\} & 0 & 2 \\
 +
\{-5,0\} & 1 & 2 \\
 +
\{-5,1\} & 0 & 0 \\
 +
\{-5,2\} & 0 & 2 \\
 +
\{-5,3\} & 0 & 0 \\
 +
\{-5,4\} & 0 & 1 \\
 +
\{-5,5\} & 1 & 2 \\
 +
\{-4,-3\} & 0 & 0 \\
 +
\{-4,-2\} & 0 & 0 \\
 +
\{-4,-1\} & 0 & 0 \\
 +
\{-4,0\} & 0 & 0 \\
 +
\{-4,1\} & 1 & 2 \\
 +
\{-4,2\} & 0 & 0 \\
 +
\{-4,3\} & 0 & 0 \\
 +
\{-4,4\} & 0 & 0 \\
 +
\{-4,5\} & 0 & 0 \\
 +
\{-3,-2\} & 0 & 0 \\
 +
\{-3,-1\} & 0 & 1 \\
 +
\{-3,0\} & 0 & 1 \\
 +
\{-3,1\} & 0 & 0 \\
 +
\{-3,2\} & 1 & 1 \\
 +
\{-3,3\} & 0 & 0 \\
 +
\{-3,4\} & 0 & 1 \\
 +
\{-3,5\} & 0 & 1 \\
 +
\{-2,-1\} & 0 & 0 \\
 +
\{-2,0\} & 0 & 0 \\
 +
\{-2,1\} & 0 & 0 \\
 +
\{-2,2\} & 0 & 0 \\
 +
\{-2,3\} & 1 & 1 \\
 +
\{-2,4\} & 0 & 0 \\
 +
\{-2,5\} & 0 & 0 \\
 +
\{-1,0\} & 0 & \infty  \\
 +
\{-1,1\} & 0 & 0 \\
 +
\{-1,2\} & 0 & \infty  \\
 +
\{-1,3\} & 0 & 0 \\
 +
\{-1,4\} & 1 & 1 \\
 +
\{-1,5\} & 0 & 2 \\
 +
\{0,1\} & 0 & 0 \\
 +
\{0,2\} & 0 & \infty  \\
 +
\{0,3\} & 0 & 0 \\
 +
\{0,4\} & 0 & 1 \\
 +
\{0,5\} & 1 & 2 \\
 +
\{1,2\} & 0 & 0 \\
 +
\{1,3\} & 0 & 0 \\
 +
\{1,4\} & 0 & 0 \\
 +
\{1,5\} & 0 & 0 \\
 +
\{2,3\} & 0 & 0 \\
 +
\{2,4\} & 0 & 1 \\
 +
\{2,5\} & 0 & 2 \\
 +
\{3,4\} & 0 & 0 \\
 +
\{3,5\} & 0 & 0 \\
 +
\{4,5\} & 0 & 1
 +
\end{array}
 +
$$
  
 
   
 
   
24번째 줄: 118번째 줄:
 
:<math>\Gamma_p(x)\Gamma_p(1-x)=(-1)^{l(x)}</math>
 
:<math>\Gamma_p(x)\Gamma_p(1-x)=(-1)^{l(x)}</math>
 
여기서 <math>x\equiv l(x) \pmod p</math>, <math>l(x)\in \{1,2,\cdots, p\}</math>
 
여기서 <math>x\equiv l(x) \pmod p</math>, <math>l(x)\in \{1,2,\cdots, p\}</math>
−
 
+
$$
 +
\begin{array}{c|cccc}
 +
x & \Gamma _3(x) & \Gamma _3(1-x) & \Gamma _3(1-x) \Gamma _3(x) & (-1)^{l(x)} \\
 +
\hline
 +
-10 & -\frac{1}{22400} & -22400 & 1 & 1 \\
 +
-9 & -\frac{1}{2240} & 2240 & -1 & -1 \\
 +
-8 & \frac{1}{2240} & -2240 & -1 & -1 \\
 +
-7 & \frac{1}{280} & 280 & 1 & 1 \\
 +
-6 & \frac{1}{40} & -40 & -1 & -1 \\
 +
-5 & -\frac{1}{40} & 40 & -1 & -1 \\
 +
-4 & -\frac{1}{8} & -8 & 1 & 1 \\
 +
-3 & -\frac{1}{2} & 2 & -1 & -1 \\
 +
-2 & \frac{1}{2} & -2 & -1 & -1 \\
 +
-1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
 +
0 & 1 & -1 & -1 & -1 \\
 +
1 & -1 & 1 & -1 & -1 \\
 +
2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
 +
3 & -2 & \frac{1}{2} & -1 & -1 \\
 +
4 & 2 & -\frac{1}{2} & -1 & -1 \\
 +
5 & -8 & -\frac{1}{8} & 1 & 1 \\
 +
6 & 40 & -\frac{1}{40} & -1 & -1 \\
 +
7 & -40 & \frac{1}{40} & -1 & -1 \\
 +
8 & 280 & \frac{1}{280} & 1 & 1 \\
 +
9 & -2240 & \frac{1}{2240} & -1 & -1 \\
 +
10 & 2240 & -\frac{1}{2240} & -1 & -1
 +
\end{array}
 +
$$
 
   
 
   
  
38번째 줄: 158번째 줄:
  
 
   
 
   
 +
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 +
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxeS1SUlM0MWxYNWc/edit
  
 
   
 
   

2014년 7월 12일 (토) 08:18 판

개요

정의

  • 자연수 \(n\) 에 대하여 다음과 같이 정의

\[\Gamma_p(n)=(-1)^n\prod_{(i,p)=1}^{n-1} i\]

  • 이를 \(\mathbb{Z}_p\)로 연속함수로 확장하여, p-adic 감마함수를 얻음

예

  • $p=3$인 경우

$$ \begin{array}{c|c} n & \Gamma _3(n) \\ \hline -10 & -\frac{1}{22400} \\ -9 & -\frac{1}{2240} \\ -8 & \frac{1}{2240} \\ -7 & \frac{1}{280} \\ -6 & \frac{1}{40} \\ -5 & -\frac{1}{40} \\ -4 & -\frac{1}{8} \\ -3 & -\frac{1}{2} \\ -2 & \frac{1}{2} \\ -1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & -1 \\ 2 & 1 \\ 3 & -2 \\ 4 & 2 \\ 5 & -8 \\ 6 & 40 \\ 7 & -40 \\ 8 & 280 \\ 9 & -2240 \\ 10 & 2240 \end{array} $$


기본적인 성질

  • \(x\in p\mathbb{Z}_p\) 일 때, \(\Gamma_p(x+1)=-\Gamma_p(x)\)
  • \(x\not \in p\mathbb{Z}_p\) 일 때, \(\Gamma_p(x+1)=-x\Gamma_p(x)\)
  • \(x \equiv y \pmod {p^r}\) 이면 \(\Gamma_p(x)\equiv \Gamma_p(y) \pmod {p^r}\)
  • \(p>3\) 이면 \(|\Gamma_p(x)-\Gamma_p(y)|_p \leq |x-y|_p\)

테이블

  • 소수 $p$와 정수 $x$에 대하여, $\operatorname{ord}_p x$를 $a\equiv 0\pmod {p^m}$을 만족하는 최대의 $m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$으로 정의하자
  • 유리수 $x=a/b$에 대해서는 $\operatorname{ord}_p x:=\operatorname{ord}_p a-\operatorname{ord}_p b$

$$ \begin{array}{c|c|c} \{x,y\} & \operatorname{ord}_5 (x-y) & \operatorname{ord}_5 \left(\Gamma _5(x)-\Gamma _5(y)\right) \\ \hline \{-5,-4\} & 0 & 0 \\ \{-5,-3\} & 0 & 1 \\ \{-5,-2\} & 0 & 0 \\ \{-5,-1\} & 0 & 2 \\ \{-5,0\} & 1 & 2 \\ \{-5,1\} & 0 & 0 \\ \{-5,2\} & 0 & 2 \\ \{-5,3\} & 0 & 0 \\ \{-5,4\} & 0 & 1 \\ \{-5,5\} & 1 & 2 \\ \{-4,-3\} & 0 & 0 \\ \{-4,-2\} & 0 & 0 \\ \{-4,-1\} & 0 & 0 \\ \{-4,0\} & 0 & 0 \\ \{-4,1\} & 1 & 2 \\ \{-4,2\} & 0 & 0 \\ \{-4,3\} & 0 & 0 \\ \{-4,4\} & 0 & 0 \\ \{-4,5\} & 0 & 0 \\ \{-3,-2\} & 0 & 0 \\ \{-3,-1\} & 0 & 1 \\ \{-3,0\} & 0 & 1 \\ \{-3,1\} & 0 & 0 \\ \{-3,2\} & 1 & 1 \\ \{-3,3\} & 0 & 0 \\ \{-3,4\} & 0 & 1 \\ \{-3,5\} & 0 & 1 \\ \{-2,-1\} & 0 & 0 \\ \{-2,0\} & 0 & 0 \\ \{-2,1\} & 0 & 0 \\ \{-2,2\} & 0 & 0 \\ \{-2,3\} & 1 & 1 \\ \{-2,4\} & 0 & 0 \\ \{-2,5\} & 0 & 0 \\ \{-1,0\} & 0 & \infty \\ \{-1,1\} & 0 & 0 \\ \{-1,2\} & 0 & \infty \\ \{-1,3\} & 0 & 0 \\ \{-1,4\} & 1 & 1 \\ \{-1,5\} & 0 & 2 \\ \{0,1\} & 0 & 0 \\ \{0,2\} & 0 & \infty \\ \{0,3\} & 0 & 0 \\ \{0,4\} & 0 & 1 \\ \{0,5\} & 1 & 2 \\ \{1,2\} & 0 & 0 \\ \{1,3\} & 0 & 0 \\ \{1,4\} & 0 & 0 \\ \{1,5\} & 0 & 0 \\ \{2,3\} & 0 & 0 \\ \{2,4\} & 0 & 1 \\ \{2,5\} & 0 & 2 \\ \{3,4\} & 0 & 0 \\ \{3,5\} & 0 & 0 \\ \{4,5\} & 0 & 1 \end{array} $$


반사공식

  • \(p\neq 2\)이고, \(x\in \mathbb{Z}_p\) 에 대하여 다음 반사공식이 성립

\[\Gamma_p(x)\Gamma_p(1-x)=(-1)^{l(x)}\] 여기서 \(x\equiv l(x) \pmod p\), \(l(x)\in \{1,2,\cdots, p\}\) $$ \begin{array}{c|cccc} x & \Gamma _3(x) & \Gamma _3(1-x) & \Gamma _3(1-x) \Gamma _3(x) & (-1)^{l(x)} \\ \hline -10 & -\frac{1}{22400} & -22400 & 1 & 1 \\ -9 & -\frac{1}{2240} & 2240 & -1 & -1 \\ -8 & \frac{1}{2240} & -2240 & -1 & -1 \\ -7 & \frac{1}{280} & 280 & 1 & 1 \\ -6 & \frac{1}{40} & -40 & -1 & -1 \\ -5 & -\frac{1}{40} & 40 & -1 & -1 \\ -4 & -\frac{1}{8} & -8 & 1 & 1 \\ -3 & -\frac{1}{2} & 2 & -1 & -1 \\ -2 & \frac{1}{2} & -2 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & -2 & \frac{1}{2} & -1 & -1 \\ 4 & 2 & -\frac{1}{2} & -1 & -1 \\ 5 & -8 & -\frac{1}{8} & 1 & 1 \\ 6 & 40 & -\frac{1}{40} & -1 & -1 \\ 7 & -40 & \frac{1}{40} & -1 & -1 \\ 8 & 280 & \frac{1}{280} & 1 & 1 \\ 9 & -2240 & \frac{1}{2240} & -1 & -1 \\ 10 & 2240 & -\frac{1}{2240} & -1 & -1 \end{array} $$


역사


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


관련논문

원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=P진_감마함수(p-adic_gamma_function)&oldid=30146"