P진 감마함수(p-adic gamma function)

정의

• 자연수 \(n\) 에 대하여 다음과 같이 정의

\[\Gamma_p(n)=(-1)^n\prod_{(i,p)=1}^{n-1} i\]

• 이를 \(\mathbb{Z}_p\)로 연속함수로 확장하여, p-adic 감마함수를 얻음

기본적인 성질

• \(x\in p\mathbb{Z}_p\) 일 때, \(\Gamma_p(x+1)=-\Gamma_p(x)\)
• \(x\not \in p\mathbb{Z}_p\) 일 때, \(\Gamma_p(x+1)=-x\Gamma_p(x)\)
• \(x \equiv y \pmod {p^r}\) 이면 \(\Gamma_p(x)\equiv \Gamma_p(y) \pmod {p^r}\)
• \(p>3\) 이면 \(|\Gamma_p(x)-\Gamma_p(y)|_p \leq |x-y|_p\)

반사공식

• \(p\neq 2\)이고, \(x\in \mathbb{Z}_p\) 에 대하여 다음 반사공식이 성립

\[\Gamma_p(x)\Gamma_p(1-x)=(-1)^{l(x)}\] 여기서 \(x\equiv l(x) \pmod p\), \(l(x)\in \{1,2,\cdots, p\}\)

역사

• 수학사 연표

관련된 항목들

• P진 해석학(p-adic analysis)
• 감마함수

관련논문

• The Gross Koblitz formula revisited
  • Robert, Alain M. , Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 105 (2001) 157 170.
• p-adic gamma functions and their applications
  • Jack Diamond, 1984
• The p-adic gamma function and congruences of Atkin and. Swinnerton-Dyer
  • L. van Hamme, Groupe d'étude d'analyse ultramétrique, 9e année 81/82, Fasc. 3 no. J17-6p
• Gauss Sums and the p-adic Γ-function
  • Benedict H. Gross and Neal Koblitz, The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 109, No. 3 (May, 1979), pp. 569-581
• The $p$-Adic Log Gamma Function and $p$-Adic Euler Constants
  • Jack Diamond, Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 233, (Oct., 1977), pp. 321-337
• A p-adic analogue of the $\Gamma$-function
  • Morita, Yasuo, Journal of the Faculty of Science, the University of Tokyo. Sect. 1 A, Mathematics, Vol.22(1975), No.2, Page 255-266