Q-적분 (잭슨 적분, Jackson integral)

수학노트
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개요

  • 적분의 q-analogue
  • 잭슨적분이라 불르기도 한다



정의

  • \(0<q<1\)에 대하여 다음과 같이 정의

\[\int_0^a f(x) d_q x = (1-q)\sum_{k=0}^{\infty}f(aq^k)aq^k \] \[\int_0^{\infty} f(x) d_q x =(1-q)\sum_{k=-\infty}^{\infty}q^k f(q^k )\]

  • \(q\to 1\) 이면, \[\int_0^a f(x) d_q x \to \int_0^a f(x) dx \]


페르마의 결과

  • 위의 방법으로 페르마는 적분 \(\int_0^a x^n\,dx\)을 기하급수 문제로 변형하여 해결함

$$\int_0^a x^n d_q x =a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k a^nq^{nk}=\frac{1-q}{1-q^{n+1}}a^{n+1}$$ $$\lim_{q\to 1}\frac{1-q}{1-q^{n+1}}a^{n+1}=\frac{a^{n+1}}{n+1}$$


역사




메모

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사전 형태의 자료


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