수학노트 - 사용자 기여 [ko]

자코비 세타함수

2013-04-01T07:29:56Z

Wiessen: /* 많이 사용되는 또다른 정의 */

==개요==
* <math>q=e^{2\pi i \tau}</math>, <math>x=e^{\pi i \tau}</math>라 두자
* 세타함수의 정의 (spectral decomposition of heat kernel)
:<math>\theta(\tau)=\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2\tau}</math>
:<math>\theta_{2}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty q^{(n+\frac{1}{2})^2/2}</math>
:<math>\theta_{4}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{n^2/2}</math>

* 자코비는 이를 통하여 [[타원함수]]론을 전개
* 응용으로 [[자코비의 네 제곱수 정리]], [[퐁슬레의 정리(Poncelet's porism)|퐁슬레의 정리]] 등의 증명에 사용됨
* [[모듈라 형식(modular forms)]]의 예
* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]], [[타원적분의 singular value k]]와 밀접한 관계를 가짐:<math>K(k(\tau)) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}} = \frac{\pi}{2}\theta_3^2(\tau)</math>:<math>k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}</math><br>

==많이 사용되는 또다른 정의==

* 전통적인 세타함수:<math>\theta(\tau)=\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2\tau}</math><br>
* 현대의 수학문헌에서는 다음과 같은 함수도 같은 이름으로 자주 사용됨:<math>\Theta(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{2\pi i n^2\tau}\,\quad (q=e^{2\pi i \tau})</math><br>

* <math>\Theta(\tau)</math> 는 <math>\Gamma_0(4)</math>에 대한 모듈라 형식이 됨:<math>\Gamma_0(4) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} {*} & {*} \\ 0 & {*} \end{pmatrix} \pmod{4} \right\}</math><br>

==여러가지 공식들==

<math>\theta_2^4(q)+\theta_4^4(q)=\theta_3^4(q)</math>

<math>\theta_3^2(q^2)+\theta_2^2(q^2)=\theta_3^2(q)</math>

<math>\theta_3^2(q^2)-\theta_2^2(q^2)=\theta_3^2(q)</math>

==세타함수의 모듈라 성질==

* (정리):<math>\theta(-\frac{1}{\tau})=\sqrt{\frac{\tau}{i}} \theta({\tau})=\sqrt{-i\tau}\theta({\tau})</math><br> 여기서 <math>-\frac{\pi}{4}<\arg \sqrt{-i\tau}<\frac{\pi}{4}</math> 이 되도록 선택<br>

(증명)

[[포아송의 덧셈 공식]]을 사용한다.

<math>\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)</math>

<math>f(x)=e^{\pi i x^2\tau}</math>의 [[푸리에 변환]]은 다음과 같이 주어진다.

<math>\hat{f}(\xi)=\sqrt{\frac{i}{\tau}}e^{-\pi i\frac{\xi^2}{\tau}}</math>

<math>\theta(\tau)= \sum_{\in \mathbb Z} \exp(\pi i n^2\tau)=\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)=\sqrt{\frac{i}{\tau}}\sum_{n\in \mathbb Z}e^{-\pi i n^2 \frac{1}{\tau}}=\sqrt{\frac{i}{\tau}}\theta(-\frac{1}{\tau})</math> ■

* <math>\tau=iy, y>0</math> 으로 쓰면, 다음과 같이 표현된다 :<math>\theta(\frac{i}{y})=\sqrt{y} \theta({iy})</math><br>
* <math>\Gamma(2)</math>에 대한 모듈라 형식이 됨:<math>\Gamma(2) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod{2} \right\}</math><br>

==근사공식과 가우스합과의 관계==

* <math>y>0</math>가 매우 작을 때,:<math>\theta(iy)\sim \frac{1}{\sqrt{y}}</math><br> (증명) :<math>\theta(\frac{i}{y})=\sqrt{y} \theta({iy})</math> ■<br>
* 좀더 일반적으로 유리수근처(cusp)에서, 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다
* <math>pq</math>가 짝수인 자연수 p,q에 대하여 <math>y>0</math>가 매우 작을 때,:<math>\theta(\frac{p}{q}+iy)\sim \frac{1}{q}S(p,q)\frac{1}{\sqrt{y}}</math><br> 여기서 <math>S(p,q)</math>는 <math>S(p,q)=\sum_{r=0}^{q-1} e^{\pi i pr^2/q}</math>[[가우스 합|가우스합]]<br>

* (정리)<br> 자연수p,q에 대하여 <math>pq</math>가 짝수라고 하자. 다음이 성립한다.:<math>\lim_{\epsilon \to 0}\sqrt{\epsilon} \theta(\frac{p}{q}+i\epsilon)=\frac{1}{q}S(p,q)</math>:<math>\lim_{\epsilon \to 0}\sqrt{\epsilon} \theta(-\frac{p}{q}+i\epsilon)=\frac{1}{q}\overline{S(p,q)}</math><br>

(증명)

<math>\theta(\frac{p}{q}+i\epsilon)=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2(\frac{p}{q}+i\epsilon)}= \sum_{r=0}^{q-1}e^{\pi i p r^2/q} \sum_{l=-\infty}^\infty e^{-\pi \epsilon (ql+r)^2}</math>

위에서 <math>n=ql+r</math>로 두었음.

따라서,

<math>\sqrt{\epsilon} \theta(\frac{p}{q}+i\epsilon)=\frac{1}{q} \sum_{r=0}^{q-1}e^{i\pi p r^2/q} \sum_{l=-\infty}^\infty e^{-\pi \epsilon (ql+r)^2} (\sqrt{\epsilon}q)</math>

여기서 <math>\Delta{x}=\sqrt{\epsilon}q</math>로 두면,

<math>\sum_{l=-\infty}^\infty e^{-\pi \epsilon (ql+r)^2} ( \sqrt{\epsilon}q)=\sum_{x\in\sqrt{\epsilon}(q\mathbb{Z}+r)}e^{-\pi x^2}\Delta x</math>

<math>\epsilon \to 0</math> 이면 위의 리만합은 적분으로 수렴하게 된다. 따라서

<math>\lim_{\epsilon \to 0}\sqrt{\epsilon} \theta(\frac{p}{q}+i\epsilon)=\frac{1}{q} \sum_{r=0}^{q-1}e^{i\pi p r^2/q} \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\frac{1}{q}S(p,q)</math> ■

* 이 정리에 세타함수의 모듈라 성질을 적용하면, 가우스합의 상호법칙을 얻는다

==가우스합의 상호법칙==

(정리) (가우스합의 상호법칙)

자연수p,q에 대하여 <math>pq</math>가 짝수라고 하자. 다음이 성립한다.

<math>\sqrt{q}\overline{S(q,p)}=e^{-\pi i/4}\sqrt{p}S(p,q)</math>

(증명)

세타함수의 모듈라 성질,

<math>\theta(-\frac{q}{p}+i\epsilon\frac{q^2}{p^2}+O(\epsilon^2))=\sqrt{\epsilon+\frac{p}{qi}}\theta(\frac{p}{q}+i\epsilon)</math> 를 얻을 수 있다.

양변에 <math>\sqrt{\epsilon}</math>을 곱하여, 극한을 구하면,

좌변은

<math>\lim_{\epsilon \to 0}\sqrt{\epsilon} \theta(-\frac{q}{p}+i\epsilon\frac{q^2}{p^2}+O(\epsilon^2))=\frac{p}{q}\cdot\frac{1}{p}\cdot\overline{S(q,p)}=\frac{1}{q}\overline{S(q,p)}</math>

우변은

<math>\lim_{\epsilon \to 0}\sqrt{\epsilon}\sqrt{\epsilon+\frac{p}{qi}}\theta(\frac{p}{q}+i\epsilon)=e^{-\pi i/4}\sqrt{\frac{p}{q}}\cdot \frac{1}{q}S(p,q)</math>

이 된다. 따라서 다음을 얻는다.

<math>\sqrt{q}\overline{S(q,p)}=e^{-\pi i/4}\sqrt{p}S(p,q)</math> ■

* [[가우스 합|가우스합]]<br>

==세타함수의 삼중곱 정리(triple product)==

* [[자코비 삼중곱(Jacobi triple product)|세타함수의 삼중곱(triple product)]]

==데데킨트 에타함수와의 관계==

<math>\theta(\tau)=\frac{\eta(\tau)^5}{\eta(2\tau)^2\eta(\frac{\tau}{2})^2}</math>

삼중곱 공식을 이용

<math>\theta(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{2m}\right) \left( 1 + x^{2m-1}\right) \left( 1 + x^{2m-1}\right)</math>

<math>q=e^{2\pi i \tau}</math>, <math>x=e^{\pi i \tau}</math>

* [[데데킨트 에타함수]] 참조<br>

==singular value k와의 관계==

<math>k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}</math>

<math>k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}</math>

* [[타원적분의 singular value k]]<br>

==세타함수와 AGM iteration==

<math>\frac{\theta_3^2(q)+\theta_4^2(q)}{2}=\theta_3^2(q^2)</math>

<math>\sqrt{\theta_3^2(q)\theta_4^2(q)}=\theta_4^2(q^2)</math>

따라서 <math>a_n=\theta_3^2(q^{2^n}),b_n=\theta_4^2(q^{2^n})</math> 라 하면, <math>a_n, b_n</math>은 AGM iteration 을 만족하고 <math>\lim_{n\to\infty}a_n=1</math>이고, <math>1=M(\theta_3^2(q),\theta_4^2(q))</math>가 된다.

==제1종타원적분과의 관계==

(정리)

주어진 <math>0<k<1</math> 에 대하여, <math>k=k(q)=\frac{\theta_2^2(q)}{\theta_3^2(q)}</math>를 만족시키는 <math>q</math>가 존재한다. 이 때,

<math>M(1,k')=\theta_3^{-2}(q)</math> 와 <math>K(k) = \frac{\pi}{2}\theta_3^2(q)</math>가 성립한다.

여기서 <math>K(k)</math>는 [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]].

(증명)

<math>1=M(\theta_3^2(q),\theta_4^2(q))=\theta_3^{2}(q)M(1,\frac{\theta_4^2(q)}{\theta_3^2(q)})=\theta_3^{2}(q)M(1,k')</math>

그러므로, <math>M(1,k')=\theta_3^{-2}(q)</math>이다.

한편, 란덴변환에 의해 <math>K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}</math>가 성립([[1939326#toc 3|타원적분과 AGM의 관계]] , [[2998854#toc 3|란덴변환과 AGM]] 참조)하므로, <math>K(k) = \frac{\pi}{2}\theta_3^2(q)</math>도 증명된다. (증명끝)

==special values==

<math>\theta_3(i)=\frac{\sqrt[4]{\pi}}{\Gamma(\frac{3}{4})}=1.08643481121\cdots</math>

(증명)

[[감마함수]]의 다음 성질을 사용하면<math>\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!</math>

<math>\Gamma(\frac{1}{4})\Gamma(\frac{3}{4}) = \sqrt{2}{\pi} </math>

위에서 증명한 [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]과의 관계로부터

<math>K(k(\tau)) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}} = \frac{\pi}{2}\theta_3^2(\tau)</math>

<math>\frac{\pi}{2}\theta_3^2(i)=K(k_1)=K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}</math>

<math>\theta_3^2(i)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{2{\pi}^{3/2}}=\frac{\sqrt{\pi}}{\Gamma(\frac{3}{4})^2}</math> ■

<math>\theta_3(i)=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\pi n^2}=1+2\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}=\frac{\sqrt[4]{\pi}}{\Gamma(\frac{3}{4})}</math>

==재미있는 사실==

<math>f(\tau)=1+2\sum_{n=1}^{\infty}e^{\pi i n \tau}</math>

<math>f(i)=1+2\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n\pi}= \frac{e^{\pi} + 1} {e^{\pi} - 1}</math>

<math>\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2\tau}</math>

<math>\theta(i)=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\pi n^2}=1+2\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}=\frac{\sqrt[4]{\pi}}{\Gamma(\frac{3}{4})}</math>

<math>\sum_{n=0}^{\infty} e^{-\pi n}=\frac{e^{\pi}}{e^{\pi}-1}</math>

<math>\sum_{n=0}^\infty e^{-\pi n^2}=\frac{\sqrt[4]{\pi}}{2\Gamma(\frac{3}{4})}+\frac{1}{2}</math>

<math>\sum_{n=0}^\infty e^{-\pi n^3}=?</math>

<math>\sum_{n=0}^\infty e^{-\pi n^4}=?</math>

==관련된 항목들==

* [[타원함수]]
* [[자코비 세타함수와 자코비 형식]]
* [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산|AGM과 파이값의 계산]]
* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]
* [[이차형식]]
* [[모듈라 형식(modular forms)]]
* [[격자의 세타함수]]

==관련도서==

* [http://www.amazon.com/First-Course-Modular-Graduate-Mathematics/dp/038723229X A First Course in Modular Forms (Graduate Texts in Mathematics)]<br>
** Fred Diamond and Jerry Shurman, 18-19p [[1971206/attachments/1124950|four_square_theorem_and_theta_funtion.pdf]]

* Brief Introduction to Theta Functions<br>
** BELLMAN, RICHARD
* Tata Lectures on Theta I,II,III<br>
** David Mumford

==사전 형태의 자료==

* http://ko.wikipedia.org/wiki/
* http://en.wikipedia.org/wiki/Theta_functions
* http://en.wikipedia.org/wiki/
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]

==관련논문==

* Quadratic reciprocity and the theta function ([[1971206/attachments/2794217|reciprocity.pdf]] )<br>
** Terence Tao
* [http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118797885 On a classical theta-function]<br>
** Tomio Kubota, Nagoya Math. J. Volume 37 (1970), 183-189
* [http://www.jstor.org/stable/2304027 Applications of Theta Functions to Arithmetic]
** G. D. Nichols, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 45, No. 6 (Jun. - Jul., 1938), pp. 363-368

* [http://www.math.ohio-state.edu/%7Eeconrad/Jacobi/Jacobi.html Karl Gustav Jacob Jacobi]<br>
** [http://www.math.ohio-state.edu/%7Eeconrad/Jacobi/sumofsq Jacobi's Four Square Theorem]. (Also available in [http://www.math.ohio-state.edu/%7Eeconrad/Jacobi/sumofsq.ps postscript format] [11 pages].) [CONSTRUCTION IN PROGRESS]

브라우어 부동점 정리

2013-03-25T17:09:41Z

Wiessen: /* 개요 */

==개요==
n차원 디스크와 n차원 구면을 <math> D^n = \{x \in \mathbb{R}^n : \|x \| \le 1\} </math>, <math>S^n = \{x \in \mathbb{R}^{n + 1} : \| x \| = 1\}</math>와 같이 정의하자.

예 : 단위원은 <math>S^1</math>, 단위원과 그 내부의 점의 집합은 <math>D^2</math>가 된다.

브라우어의 고정점 정리는 <연속인 함수 <math>f \colon D^n \to D^n</math>가 주어질 때, <math>f(x)=x </math>를 만족하는 <math>x \in D^n</math>가 적어도 하나 존재한다>는 정리이다.

간단한 경우를 보이는 것은 그렇게 어렵지 않으며, 일반적인 경우를 보이기 위해서는 호몰로지 군에 대한 지식이 필요하다.

<math>n = 1</math>인 경우

주어진 연속함수 <math>f \colon [0, 1] \to [0,1]</math>에 대해서 <math>f(x) = x</math>를 만족하는 <math>x</math>가 없다고 가정하자.

함수 <math>g(x) = f(x) - x </math>를 생각할 때, <math>g(0) = f(0) >0 </math>, <math>g(1) = f(1) - 1 < 0 </math>이므로, 중간값 정리에 의해 <math>g(t) = t</math>인 <math>t</math>가 존재한다. 그러므로 <math> f(t) = t</math>이라서 모순.

<math>n = 2</math>인 경우

연속함수 <math> f \colon D^2 \to D^2</math>에 대해서, <math> f(x) = x</math>를 만족하는 <math>x</math>가 없다고 가정하자.
<math> g(x)</math>를 <math>f(x)</math>에서 <math> x</math> 로 그은 직선이 <math>S^1</math>와 만나는 점으로 정의하면, <math>g \colon D^2 \to S^1</math>는 잘 정의되는 연속함수이고, <math>x</math>가 <math>S^1</math>의 원소이면 <math>g(x) = x</math>이다.

그러나 이런 성질을 만족하는 <math>g</math>는 존재하지 않는다. 만일 이런 <math>g</math>가 존재한다면, inclusion map <math>i \colon S^1 \to D^2</math>에 대해서 <math> g \circ i = \operatorname{id}_{S^1}</math>이므로, <math>S^1 \stackrel{i}{\to} D^2\stackrel{g}{\to} S^1</math>에 대해서 <math> \pi_1(S^1, 1) \stackrel{i^*}{\to} \pi_1(D^2, 1) \stackrel{g^*}{\to}\pi_1(S^1, 1)</math>를 만족하는 준동형사상(group homomorphism) <math>i^*</math>, <math>g^*</math>가 존재해서 합성함수가 항등함수가 돼야 한다. 하지만 <math>\pi_1(S^1, 1) = \mathbb{Z}</math>이고 <math>\pi_1(D^2, 1) = 0</math>이라서, 그런 준동형사상은 존재하지 않는다. 그러므로 모순이고, <math>f</math>에 대한 가정은 틀렸다.

<math>X \subseteq Y </math>에 대해서, 연속함수 <math>f\colon Y \to X</math>가 <math>x \in X</math>일때 <math>f(x) = x</math>를 만족할때, 이런 <math>f</math>를 retraction이라고 한다. <math> n >2</math>인 경우도 <math> n =2 </math>인 경우의 증명과 비슷하며, <math> D^n \to S^{n-1}</math>인 retraction이 없다는 것을 증명하는 것이 증명의 핵심이 된다.

==역사==

* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
* [[수학사 연표]]

==메모==

* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

==관련된 항목들==
* [[대수적위상수학]]
** 기본군(Fundamental group)
* [[페론-프로베니우스 정리 (Perron-Frobenius theorem)]]

==매스매티카 파일 및 계산 리소스==

*
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
* http://functions.wolfram.com/
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]

==사전 형태의 자료==

* http://ko.wikipedia.org/wiki/
* http://en.wikipedia.org/wiki/
* [http://eom.springer.de/default.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics]
* [http://dlmf.nist.gov NIST Digital Library of Mathematical Functions]
* [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]

==리뷰논문, 에세이, 강의노트==

==관련논문==

* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
* http://www.ams.org/mathscinet
* http://dx.doi.org/

브라우어 부동점 정리

2013-03-25T16:03:50Z

Wiessen: /* 관련된 항목들 */

==개요==
n차원 디스크와 n차원 구면을 <math> D^n = \{x \in \mathbb{R}^n : \|x \| \le 1\} </math>, <math>S^n = \{x \in \mathbb{R}^{n + 1} : \| x \| = 1\}</math>와 같이 정의하자.

예 : 단위원은 <math>S^1</math>, 단위원과 그 내부의 점의 집합은 <math>D^2</math>가 된다.

브라우어의 고정점 정리는 <연속인 함수 <math>f \colon D^n \to D^n</math>가 주어질 때, <math>f(x)=x </math>를 만족하는 <math>x \in D^n</math>가 적어도 하나 존재한다>는 정리이다.

간단한 경우를 보이는 것은 그렇게 어렵지 않으며, <math>n</math>인 경우를 보이기 위해서는 호몰로지 군에 대한 지식이 필요하다.

<math>n = 1</math>인 경우

주어진 연속함수 <math>f \colon [0, 1] \to [0,1]</math>에 대해서 <math>f(x) = x</math>를 만족하는 <math>x</math>가 없다고 가정하자.

함수 <math>g(x) = f(x) - x </math>를 생각할 때, <math>g(0) = f(0) >0 </math>, <math>g(1) = f(1) - 1 < 0 </math>이므로, 중간값 정리에 의해 <math>g(t) = t</math>인 <math>t</math>가 존재한다. 그러므로 <math> f(t) = t</math>이라서 모순.

<math>n = 2</math>인 경우

연속함수 <math> f \colon D^2 \to D^2</math>에 대해서, <math> f(x) = x</math>를 만족하는 <math>x</math>가 없다고 가정하자.
<math> g(x)</math>를 <math>f(x)</math>에서 <math> x</math> 로 그은 직선이 <math>S^1</math>와 만나는 점으로 정의하면, <math>g \colon D^2 \to S^1</math>는 잘 정의되는 연속함수이고, <math>x</math>가 <math>S^1</math>의 원소이면 <math>g(x) = x</math>이다.

그러나 이런 성질을 만족하는 <math>g</math>는 존재하지 않는다. 만일 이런 <math>g</math>가 존재한다면, inclusion map <math>i \colon S^1 \to D^2</math>에 대해서 <math> g \circ i = \operatorname{id}_{S^1}</math>이므로, <math>S^1 \stackrel{i}{\to} D^2\stackrel{g}{\to} S^1</math>에 대해서 <math> \pi_1(S^1, 1) \stackrel{i^*}{\to} \pi_1(D^2, 1) \stackrel{g^*}{\to}\pi_1(S^1, 1)</math>를 만족하는 준동형사상(group homomorphism) <math>i^*</math>, <math>g^*</math>가 존재해서 합성함수가 항등함수가 돼야 한다. 하지만 <math>\pi_1(S^1, 1) = \mathbb{Z}</math>이고 <math>\pi_1(D^2, 1) = 0</math>이라서, 그런 준동형사상은 존재하지 않는다. 그러므로 모순이고, <math>f</math>에 대한 가정은 틀렸다.

<math>X \subseteq Y </math>에 대해서, 연속함수 <math>f\colon Y \to X</math>가 <math>x \in X</math>일때 <math>f(x) = x</math>를 만족할때, 이런 <math>f</math>를 retraction이라고 한다. <math> n >2</math>인 경우도 <math> n =2 </math>인 경우의 증명과 비슷하며, <math> D^n \to S^{n-1}</math>인 retraction이 없다는 것을 증명하는 것이 증명의 핵심이 된다.

==역사==

* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
* [[수학사 연표]]

==메모==

* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

==관련된 항목들==
* [[대수적위상수학]]
** 기본군(Fundamental group)
* [[페론-프로베니우스 정리 (Perron-Frobenius theorem)]]

==매스매티카 파일 및 계산 리소스==

*
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
* http://functions.wolfram.com/
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]

==사전 형태의 자료==

* http://ko.wikipedia.org/wiki/
* http://en.wikipedia.org/wiki/
* [http://eom.springer.de/default.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics]
* [http://dlmf.nist.gov NIST Digital Library of Mathematical Functions]
* [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]

==리뷰논문, 에세이, 강의노트==

==관련논문==

* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
* http://www.ams.org/mathscinet
* http://dx.doi.org/

브라우어 부동점 정리

2013-03-25T16:02:02Z

Wiessen: /* 개요 */ 소개와 간단한 버전에서의 증명

==개요==
n차원 디스크와 n차원 구면을 <math> D^n = \{x \in \mathbb{R}^n : \|x \| \le 1\} </math>, <math>S^n = \{x \in \mathbb{R}^{n + 1} : \| x \| = 1\}</math>와 같이 정의하자.

예 : 단위원은 <math>S^1</math>, 단위원과 그 내부의 점의 집합은 <math>D^2</math>가 된다.

브라우어의 고정점 정리는 <연속인 함수 <math>f \colon D^n \to D^n</math>가 주어질 때, <math>f(x)=x </math>를 만족하는 <math>x \in D^n</math>가 적어도 하나 존재한다>는 정리이다.

간단한 경우를 보이는 것은 그렇게 어렵지 않으며, <math>n</math>인 경우를 보이기 위해서는 호몰로지 군에 대한 지식이 필요하다.

<math>n = 1</math>인 경우

주어진 연속함수 <math>f \colon [0, 1] \to [0,1]</math>에 대해서 <math>f(x) = x</math>를 만족하는 <math>x</math>가 없다고 가정하자.

함수 <math>g(x) = f(x) - x </math>를 생각할 때, <math>g(0) = f(0) >0 </math>, <math>g(1) = f(1) - 1 < 0 </math>이므로, 중간값 정리에 의해 <math>g(t) = t</math>인 <math>t</math>가 존재한다. 그러므로 <math> f(t) = t</math>이라서 모순.

<math>n = 2</math>인 경우

연속함수 <math> f \colon D^2 \to D^2</math>에 대해서, <math> f(x) = x</math>를 만족하는 <math>x</math>가 없다고 가정하자.
<math> g(x)</math>를 <math>f(x)</math>에서 <math> x</math> 로 그은 직선이 <math>S^1</math>와 만나는 점으로 정의하면, <math>g \colon D^2 \to S^1</math>는 잘 정의되는 연속함수이고, <math>x</math>가 <math>S^1</math>의 원소이면 <math>g(x) = x</math>이다.

그러나 이런 성질을 만족하는 <math>g</math>는 존재하지 않는다. 만일 이런 <math>g</math>가 존재한다면, inclusion map <math>i \colon S^1 \to D^2</math>에 대해서 <math> g \circ i = \operatorname{id}_{S^1}</math>이므로, <math>S^1 \stackrel{i}{\to} D^2\stackrel{g}{\to} S^1</math>에 대해서 <math> \pi_1(S^1, 1) \stackrel{i^*}{\to} \pi_1(D^2, 1) \stackrel{g^*}{\to}\pi_1(S^1, 1)</math>를 만족하는 준동형사상(group homomorphism) <math>i^*</math>, <math>g^*</math>가 존재해서 합성함수가 항등함수가 돼야 한다. 하지만 <math>\pi_1(S^1, 1) = \mathbb{Z}</math>이고 <math>\pi_1(D^2, 1) = 0</math>이라서, 그런 준동형사상은 존재하지 않는다. 그러므로 모순이고, <math>f</math>에 대한 가정은 틀렸다.

<math>X \subseteq Y </math>에 대해서, 연속함수 <math>f\colon Y \to X</math>가 <math>x \in X</math>일때 <math>f(x) = x</math>를 만족할때, 이런 <math>f</math>를 retraction이라고 한다. <math> n >2</math>인 경우도 <math> n =2 </math>인 경우의 증명과 비슷하며, <math> D^n \to S^{n-1}</math>인 retraction이 없다는 것을 증명하는 것이 증명의 핵심이 된다.

==역사==

* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
* [[수학사 연표]]

==메모==

* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

==관련된 항목들==
* [[대수적위상수학]]
* [[페론-프로베니우스 정리 (Perron-Frobenius theorem)]]

==매스매티카 파일 및 계산 리소스==

*
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
* http://functions.wolfram.com/
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]

==사전 형태의 자료==

* http://ko.wikipedia.org/wiki/
* http://en.wikipedia.org/wiki/
* [http://eom.springer.de/default.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics]
* [http://dlmf.nist.gov NIST Digital Library of Mathematical Functions]
* [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]

==리뷰논문, 에세이, 강의노트==

==관련논문==

* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
* http://www.ams.org/mathscinet
* http://dx.doi.org/

소수의 무한성

2012-08-25T22:41:15Z

Wiessen:

<h5 style="BACKGROUND-POSITION: 0px 100%; FONT-SIZE: 1.16em; MARGIN: 0px; COLOR: rgb(34,61,103); LINE-HEIGHT: 3.42em; FONT-FAMILY: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>

* [[소수의 무한성]]

<h5 style="BACKGROUND-POSITION: 0px 100%; FONT-SIZE: 1.16em; MARGIN: 0px; COLOR: rgb(34,61,103); LINE-HEIGHT: 3.42em; FONT-FAMILY: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">개요</h5>

<h5>유클리드의 증명</h5>

(정리) 소수는 무한히 많다

(증명)

소수의 개수가 유한하다고 가정하고, <math>p_1, p_2, \cdots ,p_r</math> 가 모든 소수의 목록이라 하자.

자연수 <math>N=p_1p_2\cdots p_r+1</math> 을 정의하자.

<math>N</math>은 각 소수 <math>p_i</math>로 나누어 나머지가 1이므로, 1과 자신 이외의 약수를 가지지 않는다. 따라서 <math>N</math>은 소수이다.

한편 N은 <math>p_1, p_2, \cdots ,p_r</math>와 같지 않으므로, 기존의 목록에 있지 않은 새로운 소수가 된다. 모순. ■

<h5 style="MARGIN: 0px; LINE-HEIGHT: 2em;">오일러의 해석학적 증명</h5>

* [[소수와 리만제타함수]]<br>

<math>\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}= \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \cdots \right) \cdots \left(1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \cdots \right) \cdots</math>

<math>\zeta(s) =\prod_{p \text{:prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}</math>

<math>\log \zeta(s) = \log \prod_{p \text{:prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} =\sum_{p \text{:prime}} -\log (1-p^{-s})</math>

<math>\log(1+x) \approx x</math>

<math>\log \zeta(s) = \sum_{p \text{:prime}} -\log (1-p^{-s})\approx \sum_{p \text{:prime}} \ p^{-s}=\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p^s}</math>

<math>\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p}=\infty</math>

<h5 style="MARGIN: 0px; LINE-HEIGHT: 2em;">기타 여러 가지 증명들</h5>

* http://wiessen.tistory.com/291 <br>

<h5>재미있는 사실</h5>

* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

<h5>역사</h5>

* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
*

<h5>메모</h5>

<h5>관련된 항목들</h5>

* [[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]]
* [[루트2는 무리수이다]]

<h5 style="BACKGROUND-POSITION: 0px 100%; FONT-SIZE: 1.16em; MARGIN: 0px; COLOR: rgb(34,61,103); LINE-HEIGHT: 3.42em; FONT-FAMILY: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">수학용어번역</h5>

* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]

<h5>사전 형태의 자료</h5>

* http://ko.wikipedia.org/wiki/
* http://en.wikipedia.org/wiki/
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

<h5>관련논문</h5>

* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
* http://www.ams.org/mathscinet
* http://dx.doi.org/

<h5>관련도서</h5>

* 도서내검색<br>
** http://books.google.com/books?q=
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
* 도서검색<br>
** http://books.google.com/books?q=
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=

<h5>관련기사</h5>

* 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=

<h5>블로그</h5>

* 구글 블로그 검색<br>
** http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
* [http://math.dongascience.com/ 수학동아]
* [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS]
* [http://betterexplained.com/ BetterExplained]

디리클레 근사정리(Dirichlet's approximation theorem)

2012-08-25T21:53:21Z

Wiessen:

<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>

<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">개요</h5>

무리수 <math>\alpha</math> 에 대하여, 부등식

<math>|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^2}</math>

는 무한히 많은 유리수 <math>p/q</math>에 의하여 만족된다.

<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">비둘기집의 원리</h5>

<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">재미있는 사실</h5>

* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">역사</h5>

* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
*

<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">메모</h5>

* http://www3.telus.net/ldh/math/farey_hurwitz.pdf<br>

<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들</h5>

* [[패리 수열(Farey series)]]<br>

<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>

* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]

<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5>

* http://ko.wikipedia.org/wiki/
* http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_approximation_theorem
* http://en.wikipedia.org/wiki/
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
* [http://www.research.att.com/~njas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련논문</h5>

* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
* http://www.ams.org/mathscinet
* http://dx.doi.org/

<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련도서</h5>

* 도서내검색<br>
** http://books.google.com/books?q=
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
* 도서검색<br>
** http://books.google.com/books?q=
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=

<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련기사</h5>

* 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=

<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">블로그</h5>

* 구글 블로그 검색<br>
** http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
* [http://math.dongascience.com/ 수학동아]
* [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS]
* [http://betterexplained.com/ BetterExplained]

수학과 시, 문학적 표현

2011-04-29T13:16:48Z

Wiessen:

<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 수학노트 원문주소</h5>

* [[수학과 시, 문학적 표현|수학과 시]]

<h5>개요</h5>

* 수학적 소재를 사용한 문학적(?) 표현의 수학교육에의 활용 가능성
* 사례로는 [[서로 접하는 네 원에 대한 데카르트의 정리와 아폴로니우스 개스킷]] 에서 '소디의 시' 를 참조
* 아래는 2011년 4월 17일 누군가의 트위터 타임라인

a1 단어가 잡히지 않는다. 흐아... 난 시를 쓸 수 없는 사람인가보다

b2 (@a1)시 대신에 수식을 쓰세여

a3 (@b2)안해여 ㅜㅜㅜㅜㅜㅜㅜ

b4 (@a3)이런 싯구 어때요? 널 향한 내 마음이 그래프의 궤적을 따라 너에게 수렴하고 있어..

a5 (@b4)아까 읽던 책 "수학과 음악"에는 이런 말이 있었습니다. "위상공간에 대한 추상적 묵상을 통해서 청혼하는 남자를 본 적이 있는가?(없을 것이다라는 어조로) "

a6 (@b4)이런 드립은 또 어떤가요 너는 x축 나는 y축, 0에서 시작한 나는 나는 탄젠트 함수를 타고 힘겹게 힘겹게 널 향해 가지만, 난 그대 마음의 1.58에도 다다를 수 없군요. (1.58 > pi/2)

b7 (@a5) 그 청혼 좀 간지나겠네요 ㅋㅋㅋㅋ 전 청혼할때 열기관 플로우차트에 계산식 적어서 하면.......

a8 (@b7) 으익 뜨거운 청혼이다

a9 (@a6) 호... 내 생각에 방금 이 드립은 좀 천재적이다

b10 (@a8) 이런것도 있겠네요.. 내 마음은 언제나 y=sin(x)을 그리며 요동치지만... 넌 언제나 (pi/2, pi/2).. 널 만나기 위해서라면 직선의 방정식이 되도 좋아..

a11 (@b10) 난 사인, 넌 코사인, 우리 둘은 제곱해서 더하면 1이야.... (이젠 급기야 의미 불명)

a1' 우와 제곱해서 더하는게 낭만적으로 느껴진 건 처음이야

a2' (@a1')사랑하는 그대여, 제곱해서 더하는 게 뭔지 알아요? 우리 둘이 쌍을 이루어서, 스스로에게 내적을 취하는 거라구요. 생각을 해 보세요, 내적이라니...! inner product space가 얼마나 우아한지 그대는 알테죠

b12 (@a11) 넌 내게 exp(x)같이 남아있어.. 지우려 지우려 미분해도.. 내 가슴 속에 언제나 넌 그곳에 있지.. 기억을 뒤섞어 y'으로도, dy/dx로도 바꿔보지만.. 언제나 넌 내 가슴에 exp(x)..

a13 (@b12) 아... 눈물난다... 그대 나의 마음은 심지어 exp(2x)에요... 지우려고 미분해봐도 두배 네배... 그리움은 갈수록 짙어집니다

b14 (@a13) 널 잊기 위해 자연 로그를 만났어.. 그 사람.. 널 한낮 다항함수로 만들어 〔d^2(lny)/dx^2〕=0.. 이젠 아파하지 않ㅤㅇㅡㄺ게.. 적분되서 만나지 말자.... 이런건 어때요 ㅋㅋ

a15 (@b14) exp 함수와 ln함수가 밀접한 상관이 있는건 기구한 운명의 수레바퀴, 큐피트의 장난ㅠㅠ ln과도 헤어졌을 때의 그리움은 (-1)^(n-1)(n-1)!/y^n ... 없어질 듯 말듯,+였다가 -였다가...절대 0은 안 되죠

a16 미분은 맞게 했나?

b17 (@a15) 앙금처럼 남아있는 당신이네요.. 사랑은 마치 exponential....

a18 (@b17) 재미로 시작했는데 슬퍼지네요. 요까지 합시다. ㅜㅜ

<h5>관련된 항목들</h5>

* [[서로 접하는 네 원에 대한 데카르트의 정리와 아폴로니우스 개스킷]]
* [[클라인씨의 병(Klein bottle)]]

2009-12-24T09:22:47Z

Wiessen: 애기똥풀님이 이 페이지를 개설하였습니다.

삼각함수

2009-11-20T19:50:54Z

Wiessen:

<h5 style="BACKGROUND-POSITION: 0px 100%; FONT-SIZE: 1.16em; MARGIN: 0px; COLOR: rgb(34,61,103); LINE-HEIGHT: 3.42em; FONT-FAMILY: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>

* [[삼각함수]]

<h5>간단한 요약</h5>

* 중학교에서 배운 삼각비를 실수 전체에서 정의된 함수로 확장함.
* 삼각함수의 주기성을 이해.
* 여러가지 삼각함수들 사이에서 성립하는 공식들을 이해함.

<h5>배우기 전에 알고 있어야 하는 것들</h5>

* 피타고라스의 정리
* 삼각비
* 원의 방정식

<h5>중요한 개념 및 정리</h5>

* 주기함수
* 덧셈공식
* 삼각함수의 그래프<br>
** 빨강은 사인(Sine), 파랑은 코사인(Cosine), 초록은 탄젠트(Tangent)<br>[/pages/1970036/attachments/911166 TrF.gif]<br>

<h5>삼각함수의 값</h5>

<math>\cos {\frac{2\pi}{3}} = -\frac{1}{2}</math>

* [[정오각형]], [[황금비]]<br><math>\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt5 -1}{4}</math><br><math>z^4+z^3+z^2+z^1+1=0</math><br> 복소평면상에서 <math>z</math> 의 <math>x</math> 좌표는 <math>\frac{-1+\sqrt{5}}{4} , \frac{-1-\sqrt{5}}{4}</math> 로 주어짐.<br>
* [[가우스와 정17각형의 작도]]

<math>\cos \frac{2\pi}{17}= \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ \sqrt{68+12\sqrt{17}-4{\sqrt{170+38\sqrt{17}}}} }{16}</math>

<h5>쌍곡함수</h5>

<math>\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i \cot ix \</math>

<h5>재미있는 문제</h5>

<h5>관련된 개념 및 나중에 더 배우게 되는 것들</h5>

* [[미분과 적분]]<br>
** 삼각함수의 미분과 적분
* [[복소수]]<br>
** 극형식표현

<h5>관련있는 다른 과목</h5>

* 물리학<br>
** 단진동
** 파동
* 지구과학<br>
** 지구의 크기
* 음악<br>
** [[수학과 음악]]

<h5>관련된 대학교 수학</h5>

* [[일변수미적분학]]
* [[톨레미의 정리]]

<h5>재미있는 사실</h5>

* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

<h5>역사</h5>

* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]

<h5>메모</h5>

<h5>관련된 항목들</h5>

* [[무리수와 초월수]]

<h5 style="BACKGROUND-POSITION: 0px 100%; FONT-SIZE: 1.16em; MARGIN: 0px; COLOR: rgb(34,61,103); LINE-HEIGHT: 3.42em; FONT-FAMILY: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">수학용어번역</h5>

* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]

<h5>사전 형태의 자료</h5>

* http://ko.wikipedia.org/wiki/
* http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_function
* http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos+x
* http://en.wikipedia.org/wiki/
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

*

0.99999999... = 1 ?

2009-11-18T10:56:07Z

Wiessen:

<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">간단한 소개</h5>

0.9999… = 1 이다.

<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">상위 주제</h5>

==== 하위페이지 ====

* [[1964250|0 토픽용템플릿]]<br>
** [[2060652|0 상위주제템플릿]]<br>

<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">재미있는 사실</h5>

<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">역사</h5>

* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]

<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">많이 나오는 질문과 답변</h5>

* 네이버 지식인<br>
** http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
** http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
** http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
** http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
** http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">관련된 다른 주제들</h5>

<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련도서 및 추천도서</h5>

* 도서내검색<br>
** http://books.google.com/books?q=
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
* 도서검색<br>
** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=

<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">참고할만한 자료</h5>

* http://ko.wikipedia.org/wiki/
* http://en.wikipedia.org/wiki/
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
** [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]

<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련기사</h5>

* 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=

<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">블로그</h5>

* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
* 네이버 블로그 검색 http://cafeblog.search.naver.com/search.naver?where=post&sm=tab_jum&query=
* 트렌비 블로그 검색 http://www.trenb.com/search.qst?q=
* 스프링노트 http://www.springnote.com/search?stype=all&q=

<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이미지 검색</h5>

* http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ASearch&search=
* http://images.google.com/images?q=
* [http://www.artchive.com/ http://www.artchive.com]

<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">동영상</h5>

* http://www.youtube.com/results?search_type=&search_query=

Wiessen:

<h5>간단한 소개</h5>

* 실수체는 유리수체로부터 완비성을 갖도록 해줌으로써 구성됨
* 그러나 실수체만이 유리수체의 완비화를 통해 얻어지는 것은 아님.
* 완비성을 갖도록 해주기 위해서는 먼저 유리수 사이에 거리의 개념이 필요<br>
** 유리수체 위의 거리는 각 소수 p에 대응되는 거리의 개념과, 잘 알려진 (실수를 만드는) 절대값이 존재

<h5>실수의 십진법 표현과의 비교</h5>

* 오른쪽으로 무한개의 소수자리
* 왼쪽으로 ...

<h5>하위주제들</h5>

<h5>재미있는 사실</h5>

* 2-adic field에서는, <math>1+2+4+8+16+32 +\cdots = -1</math> 이 성립함.
* 7-adic field에서는 <math>\cdots 3334 = 1/2</math>

<h5>관련된 단원</h5>

<h5>많이 나오는 질문</h5>

* 네이버 지식인<br>
** http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=p-adic
** http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

<h5>관련된 고교수학 또는 대학수학</h5>

<h5>관련된 다른 주제들</h5>

<h5>관련도서 및 추천도서</h5>

* 추천도서<br>
** p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-

* 도서내검색<br>
** http://books.google.com/books?q=
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
* 도서검색<br>
** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=

<h5>참고할만한 자료</h5>

* [http://www.jstor.org/stable/2303739 The p-Adic Numbers of Hensel]<br>
** C. C. MacDuffee, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 45, No. 8 (Oct., 1938), pp. 500-508
* [http://www.jstor.org/stable/2323809 Visualizing the p-adic Integers]<br>
** Albert A. Cuoco, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 98, No. 4 (Apr., 1991), pp. 355-364
* [http://www.jstor.org/stable/2695615 Pictures of Ultrametric Spaces, the p-Adic Numbers, and Valued Fields]<br>
** Jan E. Holly, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 108, No. 8 (Oct., 2001), pp. 721-728
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
* http://en.wikipedia.org/wiki/p-adic_analysis
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Hensel%27s_lemma ][http://en.wikipedia.org/wiki/Hensel%27s_lemma http://en.wikipedia.org/wiki/Hensel's_lemma]

<h5>블로그</h5>

* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
* 트렌비 블로그 검색 http://www.trenb.com/search.qst?q=

2009-10-30T23:14:24Z

Wiessen:

다변수미적분학

2009-10-30T23:09:15Z

Wiessen:

<h5>간단한 요약</h5>

* 다변수 함수의 미분과 적분을 공부함.
* 라그랑지 승수 법칙과 헤세판정법을 통해, 함수의 최대최소값 구하는 기술을 배움.
* '미적분학의 기본정리'의 다변수 확장 버전인 '스토크스 정리' 를 공부함.

<h5>선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들</h5>

* [[일변수미적분학]]
* 기초적인 [[선형대수학]]<br>
** 좌표공간
** 행렬식
* 외적(cross product)

<h5>다루는 대상</h5>

* 곡선, 곡면, n차원 공간
* 벡터장

<h5>중요한 개념 및 정리</h5>

* 편미분
* 미분연산자<br>
** grad
** div
** curl
* 내적과 외적
* 라그랑지 승수 법칙(Lagrange multiplier)
* 헤세판정법<br>
** 모스 보조정리 (Morse lemma)
* 다중적분
* 좌표변환<br>
** 자코비안과 행렬식
** 극좌표계
** 구면좌표계
** 원통좌표계
** 치환적분법
* 그린 정리, 발산 정리, 스토크스 정리<br>
** 미분형식으로 표현되는 스토크스 정리의 특별한 경우로 생각할 수 있음.

<h5>미분연산자</h5>

* <math>\operatorname{grad}(f) = \nabla f</math>
* <math>\operatorname{curl}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F}</math>
* <math>\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F}</math>
* 라플라시안 <math>\Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot (\nabla f)</math>

<h5>미분연산자 사이의 관계</h5>

* <math>\nabla \times (\nabla f)=0</math>
* <math>\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{E})=0</math>
* <math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}</math>

<h5>유명한 정리 혹은 재미있는 문제</h5>

* grad, div, curl 과 같은 미분연산자의 좌표불변성
* [[n차원 공의 부피|n차원 구의 부피]]
* 3차원의 외적을 고차원으로 확장할 수 있을까?[[1,2,4,8 과 1,3,7|]]<br>
** [[1,2,4,8 과 1,3,7|1,2,4,8 혹은 1,3,7]]

<h5>다른 과목과의 관련성</h5>

* 전자기학<br>
** [[맥스웰 방정식|맥스웰방정식]]
* [[미분기하학]]
* 편미분방정식
* [[이차형식]]<br>
** 헤세판정법과 실베스터의 intertia 정리

<h5>관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들</h5>

* [[미분형식 (differential forms)과 다변수 미적분학|미분형식 (differential forms)]]<br>
** 스토크스 정리를 고차원으로 일반화하기 위해서는, 미분다양체와 미분형식의 언어가 필요함
* 미분다양체론

<h5>표준적인 교과서</h5>

<h5>추천도서 및 보조교재</h5>

* [http://www.amazon.com/Calculus-Manifolds-Approach-Classical-Theorems/dp/0805390219 Calculus On Manifolds: A Modern Approach To Classical Theorems Of Advanced Calculus]<br>
** Michael Spivak<br>
* [http://www.amazon.com/Div-Grad-Curl-All-That/dp/0393969975 Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus]<br>
** H. M. Schey<br>

<h5>사전 형태의 자료</h5>

* http://ko.wikipedia.org/wiki/
* http://en.wikipedia.org/wiki/vector_calculus
* http://en.wikipedia.org/wiki/Del
* http://en.wikipedia.org/wiki/
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]

<h5>관련논문과 에세이</h5>

* [http://www.jstor.org/stable/3029658 Vector Analysis]<br>
** Homer V. Craig
** <cite>Mathematics Magazine</cite>, Vol. 25, No. 2 (Nov. - Dec., 1951), pp. 67-86
* [http://www.jstor.org/stable/2308879 Bringing Calculus Up-to-Date]<br>
** M. E. Munroe
** <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 65, No. 2 (Feb., 1958), pp. 81-90
* [http://www.jstor.org/stable/2311588 Some Remarks About the Curl of a Vector Field]<br>
** J. D. Weston
** <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 68, No. 4 (Apr., 1961), pp. 359-361
* [http://www.jstor.org/stable/2313435 Invariant Definitions for Vector Calculus]<br>
** Oswald Wyler
** <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 75, No. 4 (Apr., 1968), pp. 394-396
* [http://www.jstor.org/stable/2321384 On the Curl of a Vector Field]<br>
** J.-F. Dumais
** <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 89, No. 7 (Aug. - Sep., 1982), pp. 469-473
* [http://www.jstor.org/stable/2323840 Understanding Vector Fields]<br>
** C. R. Curjel
** <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 97, No. 6 (Jun. - Jul., 1990), pp. 524-527
* [http://www.jstor.org/stable/3595765 Using Differentials to Bridge the Vector Calculus Gap]<br>
** Tevian Dray and Corinne A. Manogue
** <cite>The College Mathematics Journal</cite>, Vol. 34, No. 4 (Sep., 2003), pp. 283-290
* [http://www.jstor.org/stable/2689393 Degenerate Critical Points]<br>
** Theodore S. Bolis
** <cite>Mathematics Magazine</cite>, Vol. 53, No. 5 (Nov., 1980), pp. 294-299
* [http://www.jstor.org/stable/2689856 Change of Variables in Multiple Integrals: Euler to Cartan]<br>
** Victor J. Katz
** <cite>Mathematics Magazine</cite>, Vol. 55, No. 1 (Jan., 1982), pp. 3-11
* [http://www.jstor.org/stable/2690275 The History of Stokes' Theorem]<br>
** Victor J. Katz
** <cite>Mathematics Magazine</cite>, Vol. 52, No. 3 (May, 1979), pp. 146-156

다변수미적분학

2009-10-30T23:09:15Z

Wiessen:

선형대수학

2009-10-30T23:01:13Z

Wiessen:

<h5>간단요약</h5>

* 고등학교에서 배우는 3차원 공간벡터의 성질들을 추상화하여, 일반적인 벡터공간을 정의하고, 그 공간들 사이의 함수가 되는 선형사상 및 행렬을 공부함.
* 선형사상과 행렬의 대비 및 둘 사이의 긴장감을 공부함.
* 수학에서 많이 사용되는 언어를 익히는 부분과, 일차방정식의 해, 정방행렬의 분류와 같은 선형대수학 자체의 문제로 볼 수 있는 부분이 섞여 있음.<br> <br>

<h5>다루는 대상</h5>

* 벡터, 벡터공간, 행렬, 선형사상

<h5>중요한 개념 및 정리</h5>

* 벡터공간<br>
** 스칼라와 벡터
** 선형대수학 = 체의 모듈 이론
* 선형사상
* 행렬 <br>
** 선형사상을 구체적으로 표현하기 위한 언어
* Dimension 정리
* 행렬식
* 고유값, 고유벡터, 대각화
* 선형 사상의 분해 또는 Jordan canonical form 에 따른 n x n 행렬의 분류<br>
** 대각화의 일반화
** Principal Ideal Domain의 module theory의 관점에서 바라볼 수 있음.
* 내적공간<br>
** 거리와 각도를 잴 수 있는 벡터공간

<math>\mathbf{X}=\left(\begin{array}{ccc}x_{11} & x_{12} & \ldots \\x_{21} & x_{22} & \ldots \\\vdots & \vdots & \ddots\end{array} \right)</math>

<math>\Large A\ =\ \large\left( \begin{array}{c.cccc}&1&2&\cdots&n\\ \hdash1&a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ 2&a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ n&a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right)</math>

<math>\normalsize \left(\large\begin{array}{GC+23} \varepsilon_x\\\varepsilon_y\\\varepsilon_z\\\gamma_{xy}\\ \gamma_{xz}\\\gamma_{yz}\end{array}\right)\ {\Large=} \ \left[\begin{array}{CC} \begin{array}\frac1{E_{\fs{+1}x}} &-\frac{\nu_{xy}}{E_{\fs{+1}x}} &-\frac{\nu_{\fs{+1}xz}}{E_{\fs{+1}x}}\\ -\frac{\nu_{yx}}{E_y}&\frac1{E_{y}}&-\frac{\nu_{yz}}{E_y}\\ -\frac{\nu_{\fs{+1}zx}}{E_{\fs{+1}z}}& -\frac{\nu_{zy}}{E_{\fs{+1}z}} &\frac1{E_{\fs{+1}z}}\end{array} & {\LARGE 0} \\ {\LARGE 0} & \begin{array}\frac1{G_{xy}}&&\\ &\frac1{G_{\fs{+1}xz}}&\\&&\frac1{G_{yz}}\end{array} \end{array}\right] \ \left(\large\begin{array} \sigma_x\\\sigma_y\\\sigma_z\\\tau_{xy}\\\tau_{xz}\\\tau_{yz} \end{array}\right)</math>

<math>\normalsize \left(\large\begin{array}{GC+23} \varepsilon_x\\\varepsilon_y\\\varepsilon_z\\\gamma_{xy}\\ \gamma_{xz}\\\gamma_{yz}\end{array}\right)\ {\Large=} \ \left[\begin{array}{CC} \begin{array}\frac1{E_{\fs{+1}x}} &-\frac{\nu_{xy}}{E_{\fs{+1}x}} &-\frac{\nu_{\fs{+1}xz}}{E_{\fs{+1}x}}\\ -\frac{\nu_{yx}}{E_y}&\frac1{E_{y}}&-\frac{\nu_{yz}}{E_y}\\ -\frac{\nu_{\fs{+1}zx}}{E_{\fs{+1}z}}& -\frac{\nu_{zy}}{E_{\fs{+1}z}} &\frac1{E_{\fs{+1}z}}\end{array} & {\LARGE 0} \\ {\LARGE 0} & \begin{array}\frac1{G_{xy}}&&\\ &\frac1{G_{\fs{+1}xz}}&\\&&\frac1{G_{yz}}\end{array} \end{array}\right] \ \left(\large\begin{array} \sigma_x\\\sigma_y\\\sigma_z\\\tau_{xy}\\\tau_{xz}\\\tau_{yz} \end{array}\right)</math>

<h5>유명한 정리 혹은 재미있는 문제</h5>

* 케일리-해밀턴 정리<br> <br>

<h5>선수 과목</h5>

* 대학과정에서 요구되는 선수 과목은 없음.
* 고교 수학의 행렬, 일차변환에의 익숙함은 도움이 됨.<br> <br>

<h5>다른 과목과의 관련성</h5>

* [[다변수미적분학]]
* [[상미분방정식]]
* 해석학 <br>
** 내적공간의 개념은 해석학 과목에서 푸리에 시리즈를 공부할 때 필요함.
** 해석학에서 유용한 개념인 힐버트 공간은 선형대수학의 내적공간의 개념을 요청함.
* 양자역학<br>
** 양자역학은 힐버트 공간의 벡터와 그에 작용하는 Hermitian operator의 언어로 기술됨.<br> <br>

<h5>관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들</h5>

* [[미분형식 (differential forms)과 다변수 미적분학|Multilinear algebra]]
* [[코딩이론]]<br>
** 선형대수를 처음 배울 때는, 보통 스칼라로 사용하는 체를 실수 혹은 복소수로 생각하게 됨.
** 유한체 위의 선형대수학과 선형대수학의 응용을 맛 볼 수 있음.
* [[이차형식]]<br>
** 내적공간의 일반화로서, 좀더 일반적인 symmetric bilinear form 이 주어져 있는 벡터공간, 즉 quadratic space 에 대한 공부는 이차형식의 영역으로 안내.<br>
* 유한군의 표현론<br>
* 리대수와 표현론

<h5>메모</h5>

* principal axis theorem

<h5>참고할만한 도서 및 자료</h5>

* [http://www.jstor.org/stable/2686426 The Growing Importance of Linear Algebra in Undergraduate Mathematics]<br>
** Alan Tucker
** <cite>The College Mathematics Journal</cite>, Vol. 24, No. 1 (Jan., 1993), pp. 3-9

* [http://www.jstor.org/stable/2320145 Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra]<br>
** Desmond Fearnley-Sander
** <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 86, No. 10 (Dec., 1979), pp. 809-817
* [http://www.jstor.org/stable/2686430 The Linear Algebra Curriculum Study Group Recommendations for the First Course in Linear Algebra]<br>
** David Carlson, Charles R. Johnson, David C. Lay and A. Duane Porter
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피타고라스 쌍(Pythagorean triple)

2009-10-19T21:17:23Z

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