판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function) - 편집 역사

2021년 2월 17일 (수) 13:05에 Pythagoras0님의 편집

2021-02-17T13:05:06Z

Pythagoras0: /* 메타데이터 */ 새 문단

2020-12-28T14:26:04Z

메타데이터: 새 문단

2020년 11월 16일 (월) 12:08에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-16T12:08:34Z

Pythagoras0: /* 메모 */

2015-06-10T05:45:26Z

메모

Pythagoras0: /* 관련논문 */

2015-04-29T07:57:40Z

2014년 6월 18일 (수) 03:23에 Pythagoras0님의 편집

2014-06-18T03:23:34Z

2014년 4월 12일 (토) 16:07에 Pythagoras0님의 편집

2014-04-12T16:07:38Z

Pythagoras0: /* 타원곡선의 판별식 */

2013-08-28T13:31:49Z

타원곡선의 판별식

Pythagoras0: /* 헤케 L-급수 */

2013-08-27T20:36:14Z

헤케 L-급수

Pythagoras0: /* 라마누잔의 추측 */

2013-08-27T20:22:49Z

라마누잔의 추측

@@ 160번째 줄: / 160번째 줄: @@
 * Mordell, L. J., [http://www.archive.org/stream/proceedingsofcam1920191721camb#page/n133 On Mr.  Ramanujan's empirical expansions of modular functions], Cambr. Phil. Soc. Proc. 19, 117-124 (1917)
-== 메타데이터 ==
+==메타데이터==
 ===위키데이터===
 * ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q3535240 Q3535240]

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	* Lehmer, D.H. [http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-47-01436-1 The vanishing of Ramanujan’s τ(n)], Duke Math. J. 14, 429–433 (1947)		* Lehmer, D.H. [http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-47-01436-1 The vanishing of Ramanujan’s τ(n)], Duke Math. J. 14, 429–433 (1947)
	* Mordell, L. J., [http://www.archive.org/stream/proceedingsofcam1920191721camb#page/n133 On Mr. Ramanujan's empirical expansions of modular functions], Cambr. Phil. Soc. Proc. 19, 117-124 (1917)		* Mordell, L. J., [http://www.archive.org/stream/proceedingsofcam1920191721camb#page/n133 On Mr. Ramanujan's empirical expansions of modular functions], Cambr. Phil. Soc. Proc. 19, 117-124 (1917)
		+
		+	== 메타데이터 ==
		+
		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q3535240 Q3535240]

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 ==개요==
-* 복소타원곡선의 판별식으로부터 weight이 12인 모듈라 형식 $\Delta(\tau)$이 얻어짐
+* 복소타원곡선의 판별식으로부터 weight이 12인 모듈라 형식 <math>\Delta(\tau)</math>이 얻어짐
-* 푸리에 전개 $\Delta(\tau)=\sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n$로부터 얻어지는 계수 $\tau(n)$를 라마누잔의 타우 함수라 하며, 이는 많은 흥미로운 수론적 성질을 가짐
+* 푸리에 전개 <math>\Delta(\tau)=\sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n</math>로부터 얻어지는 계수 <math>\tau(n)</math>를 라마누잔의 타우 함수라 하며, 이는 많은 흥미로운 수론적 성질을 가짐
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 ===라마누잔의 추측===
 # 서로 소인 자연수 <math>m,n</math> 에 대하여, <math>\tau(mn)=\tau(m)\tau(n) \label{ram1}</math>
-# 소수 $p$와 자연수 $r$에 대하여, <math>\tau(p^{r + 1}) = \tau(p)\tau(p^r) - p^{11}\tau(p^{r - 1}) \label{ram2}</math>
+# 소수 <math>p</math>와 자연수 <math>r</math>에 대하여, <math>\tau(p^{r + 1}) = \tau(p)\tau(p^r) - p^{11}\tau(p^{r - 1}) \label{ram2}</math>
-# 소수 $p$에 대하여, <math>|\tau(p)| \leq 2p^{11/2} \label{ram3}</math>
+# 소수 <math>p</math>에 대하여, <math>|\tau(p)| \leq 2p^{11/2} \label{ram3}</math>
 * 1917년 모델 (Mordell)이 처음 두 성질을 증명
 * 1974년 Deligne이 Weil 추측을 증명함으로써 해결됨
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 ===헤케 L-급수===
 * 헤케 L-급수를 다음과 같이 정의
-$$
+:<math>
 L(\Delta,s):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tau(n)}{n^s}, \quad \Re(s)>\frac{13}{2}
-$$
+</math>
 * 라마누잔 타우 함수의 성질 \ref{ram1}로부터 다음의 무한곱을 얻는다
-$$
+:<math>
 L(\Delta,s)=\prod_{p}L_p(\Delta,s) \label{hecke}
-$$
+</math>
 여기서
-$$
+:<math>
 L_p(\Delta,s)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\tau(p^n)}{(p^s)^n}
-$$
+</math>
 * 성질 \ref{ram2}를 사용하여 다음을 얻는다
-$$
+:<math>
 \sum_{n=1}^{\infty}\tau(p^{n+1})x^{n+1}=x \tau (p)\left(\sum_{n=1}^{\infty}\tau(p^{n})x^{n}\right)-p^{11} x^2\left(\sum_{n=1}^{\infty}\tau(p^{n-1})x^{n-1}\right)
-$$
+</math>
 따라서,
-$$
+:<math>
 \sum_{n=0}^{\infty} \tau(p^n)x^n=\frac{1}{1- \tau (p) x+p^{11} x^2}
-$$
+</math>
 그리고
-$$
+:<math>
 L_p(\Delta,s)=\frac{1}{1-p^{-s} \tau (p)+p^{11-2 s}}
-$$
+</math>
 * 이제 \ref{hecke}은 다음과 같이 쓸 수 있다
-$$
+:<math>
 L(\Delta,s)=\prod_{p}\frac{1}{1-p^{-s} \tau (p)+p^{11-2 s}}
-$$
+</math>
 * [[L-함수, 제타 함수와 디리클레 급수]]
@@ 91번째 줄: / 91번째 줄: @@
 ===테이블===
-$$
+:<math>
 \begin{array}{c|c}
   n & \tau(n) \\
@@ 117번째 줄: / 117번째 줄: @@
 & -7109760 \\
 \end{array}
-$$
+</math>

@@ 128번째 줄: / 128번째 줄: @@
 *  Ramanujan-Petersson Conjectures
 * Lee, Will Y. 2014. “Lehmer’s Conjecture on the Non-Vanishing of Ramanujan’s Tau Function.” arXiv:1406.3607 [math], June. http://arxiv.org/abs/1406.3607.
+* Lee, Will Y. “Elementary Proof of Lehmer’s Conjecture on Non-Vanishing of Tau Function.” arXiv:1506.02098 [math], June 5, 2015. http://arxiv.org/abs/1506.02098.
 ==관련된 항목들==

@@ 156번째 줄: / 156번째 줄: @@
 ==관련논문==
+* Tian, Peng, and Hourong Qin. ‘Non-Vanishing Fourier Coefficients of Modular Forms’. arXiv:1504.07381 [math], 28 April 2015. http://arxiv.org/abs/1504.07381.
 * Lehmer, D.H. [http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-47-01436-1 The vanishing of Ramanujan’s τ(n)], Duke Math. J. 14, 429–433 (1947)
 * Mordell, L. J., [http://www.archive.org/stream/proceedingsofcam1920191721camb#page/n133 On Mr.  Ramanujan's empirical expansions of modular functions], Cambr. Phil. Soc. Proc. 19, 117-124 (1917)

@@ 123번째 줄: / 123번째 줄: @@
 ==메모==
+* http://mathoverflow.net/questions/161172/ramanujans-tau-function
 *  Hecke’s theory of Hecke operators
 *  Serre’s theory of modular l-adic Galois representations

@@ 11번째 줄: / 11번째 줄: @@
 * <math>\tau\in \mathbb H</math> 에 대응되는 타원곡선 <math>y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3(\tau)</math> 의 판별식은 다음과 주어짐
-:<math>F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3^2(\tau)</math>
+:<math>F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)^2</math>
 여기서 <math>g_2, g_3</math>는 [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]]
 * 정의에 따라 <math>F</math>는 weight 12인 모듈라 형식이 됨
@@ 17번째 줄: / 17번째 줄: @@
 * 따라서 cusp 형식이 됨
 *  이 함수의 <math>\tau=i\infty</math>에서의 푸리에 전개는 다음과 같다
-:<math>F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3^2(\tau)=(2\pi)^{12}(q-24q+252q^2\cdots)</math>
+:<math>F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)^2=(2\pi)^{12}(q-24q+252q^2\cdots)</math>
 ===정의===