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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">개요</h5> | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">개요</h5> | ||
| − | <math>\operatorname{Li}(x)=\int_2^{x} \frac{1}{\log x}\,dx</math> | + | * 적분으로 정의되는 함수<br><math>\operatorname{Li}(x)=\int_2^{x} \frac{1}{\log x}\,dx</math><br> |
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* 다음 리우빌의 정리를 이용하여, 불가능성을 증명할 수 있다 ([[부정적분의 초등함수 표현(Integration in finite terms)]] 참조)<br> (정리 ) 리우빌, 1835<br><math>f(x), g(x)</math> 는 유리함수이면, (단, <math>g(x)</math> 는 상수함수가 아님) 다음 두 명제는 동치이다.<br> (i)<math>\int f(x)e^{g(x)} \,dx</math> 는 초등함수이다.<br> (ii) 유리함수 <math>R(x)</math>가 존재하여 <math>f(x)=R'(x)+R(x)g'(x)</math> 를 만족시킨다.<br> | * 다음 리우빌의 정리를 이용하여, 불가능성을 증명할 수 있다 ([[부정적분의 초등함수 표현(Integration in finite terms)]] 참조)<br> (정리 ) 리우빌, 1835<br><math>f(x), g(x)</math> 는 유리함수이면, (단, <math>g(x)</math> 는 상수함수가 아님) 다음 두 명제는 동치이다.<br> (i)<math>\int f(x)e^{g(x)} \,dx</math> 는 초등함수이다.<br> (ii) 유리함수 <math>R(x)</math>가 존재하여 <math>f(x)=R'(x)+R(x)g'(x)</math> 를 만족시킨다.<br> | ||
| − | * 로그적분에의 적용<br><math>\int \frac{1}{\log x} dx=\int \frac{e^{t}}{t}dt</math>, <math>t=\log x</math><br> 리우빌의 정리에 의하여, <br> 미분방정식 <math>\frac{1}{z}=R'(z)+R(z)</math>를 만족시키는 유리함수 <math>R(x)</math>가 존재하지 않음을 보이면 된다. <br> 먼저 유리함수 <math>R(x)</math>는 다항식이 될 수 없으므로, 두 다항식 <math>p(x), q(x)</math> (<math>q(x)</math>는 상수가 아님) 에 대하여, 기약형식<br> <math>R(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> 로 쓸 수 있다. <br><math>q(z)</math>가 <math>z=z_0</math>에서 복소해를 갖는다고 하고, <math>{\mu}\geq 1</math>를 그 multiplicity로 두자. <br> <math>z=z_0</math> 근방에서 <math>R(z)\sim (z-z_0)^{-\mu}</math>, <math>R'(z)\sim (z-z_0)^{-\mu-1}</math> 이다.<br><math>z=z_0</math> 근방에서 <math>R'(z)+R(z)\sim (z-z_0)^{-\mu-1}</math>이고, <math>\frac{1}{z}</math> 는 0근방에서만 | + | * 로그적분에의 적용<br> (증명)<br><math>\int \frac{1}{\log x} dx=\int \frac{e^{t}}{t}dt</math>, <math>t=\log x</math><br> 리우빌의 정리에 의하여, <br> 미분방정식 <math>\frac{1}{z}=R'(z)+R(z)</math>를 만족시키는 유리함수 <math>R(x)</math>가 존재하지 않음을 보이면 된다. <br> 먼저 유리함수 <math>R(x)</math>는 다항식이 될 수 없으므로, 두 다항식 <math>p(x), q(x)</math> (<math>q(x)</math>는 상수가 아님) 에 대하여, 기약형식<br> <math>R(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> 로 쓸 수 있다. <br><math>q(z)</math>가 <math>z=z_0</math>에서 복소해를 갖는다고 하고, <math>{\mu}\geq 1</math>를 그 multiplicity로 두자. <br> <math>z=z_0</math> 근방에서 <math>R(z)\sim (z-z_0)^{-\mu}</math>, <math>R'(z)\sim (z-z_0)^{-\mu-1}</math> 이다.<br><math>z=z_0</math> 근방에서 <math>R'(z)+R(z)\sim (z-z_0)^{-\mu-1}</math>이고, <math>\frac{1}{z}</math> 는 0근방에서만 크기가 1인 특이점을 가지므로, <br><math>\frac{1}{z}=R'(z)+R(z)</math>에 모순이다. ■<br> |
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* http://en.wikipedia.org/wiki/logarithmic_integral | * http://en.wikipedia.org/wiki/logarithmic_integral | ||
| − | * http://www.wolframalpha.com/input/?i= | + | * http://www.wolframalpha.com/input/?i=logarithmi_integral |
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| + | ** http://dlmf.nist.gov/6.2 | ||
* [http://www.research.att.com/~njas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br> | * [http://www.research.att.com/~njas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br> | ||
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ||
2010년 5월 30일 (일) 07:16 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 적분으로 정의되는 함수
\(\operatorname{Li}(x)=\int_2^{x} \frac{1}{\log x}\,dx\)
- 소수정리
- 초등함수로 표현할 수 없다
로그적분의 초등함수 표현
- 다음 리우빌의 정리를 이용하여, 불가능성을 증명할 수 있다 (부정적분의 초등함수 표현(Integration in finite terms) 참조)
(정리 ) 리우빌, 1835
\(f(x), g(x)\) 는 유리함수이면, (단, \(g(x)\) 는 상수함수가 아님) 다음 두 명제는 동치이다.
(i)\(\int f(x)e^{g(x)} \,dx\) 는 초등함수이다.
(ii) 유리함수 \(R(x)\)가 존재하여 \(f(x)=R'(x)+R(x)g'(x)\) 를 만족시킨다. - 로그적분에의 적용
(증명)
\(\int \frac{1}{\log x} dx=\int \frac{e^{t}}{t}dt\), \(t=\log x\)
리우빌의 정리에 의하여,
미분방정식 \(\frac{1}{z}=R'(z)+R(z)\)를 만족시키는 유리함수 \(R(x)\)가 존재하지 않음을 보이면 된다.
먼저 유리함수 \(R(x)\)는 다항식이 될 수 없으므로, 두 다항식 \(p(x), q(x)\) (\(q(x)\)는 상수가 아님) 에 대하여, 기약형식
\(R(x)=\frac{p(x)}{q(x)}\) 로 쓸 수 있다.
\(q(z)\)가 \(z=z_0\)에서 복소해를 갖는다고 하고, \({\mu}\geq 1\)를 그 multiplicity로 두자.
\(z=z_0\) 근방에서 \(R(z)\sim (z-z_0)^{-\mu}\), \(R'(z)\sim (z-z_0)^{-\mu-1}\) 이다.
\(z=z_0\) 근방에서 \(R'(z)+R(z)\sim (z-z_0)^{-\mu-1}\)이고, \(\frac{1}{z}\) 는 0근방에서만 크기가 1인 특이점을 가지므로,
\(\frac{1}{z}=R'(z)+R(z)\)에 모순이다. ■
재미있는 사실
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
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- 대한수학회 수학 학술 용어집
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사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/logarithmic_integral
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=logarithmi_integral
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
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