"모든 자연수의 곱과 리만제타함수"의 두 판 사이의 차이
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<h5>증명</h5> | <h5>증명</h5> | ||
| − | 감마함수의 성질 | + | * 감마함수의 성질<br><math>\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{\frac{1}{2}-2z} \; \sqrt{2\pi} \; \Gamma(2z) \,\!</math><br> |
| + | * 리만제타함수의 함수방정식<br><math>\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}</math><br> | ||
| + | * 을 이용한다. | ||
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| − | + | <math>\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}</math> | |
| − | <math> | + | <math>f(s)=s\zeta(1-s)</math> 라 두자. |
| − | + | <math>f(s)=s\zeta(1-s)</math> | |
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| − | + | <math>\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O(|s-1|)</math>로부터, | |
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| + | <math>f(s)=s\zeta(1-s)</math> | ||
2009년 7월 4일 (토) 20:35 판
간단한 소개
- \(\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}\)
증명
- 감마함수의 성질
\(\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{\frac{1}{2}-2z} \; \sqrt{2\pi} \; \Gamma(2z) \,\!\) - 리만제타함수의 함수방정식
\(\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}\) - 을 이용한다.
\(\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}\)
\(f(s)=s\zeta(1-s)\) 라 두자.
\(f(s)=s\zeta(1-s)\)
\(\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O(|s-1|)\)로부터,
\(f(s)=s\zeta(1-s)\)