최대정수함수 (가우스함수)
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개요==
- 실수 x 에 대하여 \(\lfloor x\rfloor\)는 \(x\) 이하의 최대정수를 의미한다
- 예
\(\lfloor 0.8\rfloor=0\)
\(\lfloor -0.2\rfloor=-1\)
\(\lfloor 0.8\rfloor=0\)
\(\lfloor -0.2\rfloor=-1\)
에르미트 항등식==
- 실수 x 와 자연수 n에 대하여, 다음이 성립한다
[x]+[x+1/n]+......[x+n-1/n] = [nx]
\(\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+\frac{k}{n}\right\rfloor=\lfloor nx\rfloor\)
[x]+[x+1/n]+......[x+n-1/n] = [nx]
\(\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+\frac{k}{n}\right\rfloor=\lfloor nx\rfloor\)
이차잉여에의 응용==
- 서로 소인 두 양수인 홀수 p,q 에 대하여 다음이 성립한다
\(\sum_{i=1}^{(p-1)/2}[\frac{iq}{p}]+\sum_{j=1}^{(q-1)/2}[\frac{jp}{q}]=\frac{(p-1)(q-1)}{4}\)
- 가우스의 보조정리(Gauss's lemma) 와 함께 사용하면, 이차잉여의 상호법칙 을 증명할 수 있다
- p=23, q=11 의 경우
[1]
\(\sum_{i=1}^{(p-1)/2}[\frac{iq}{p}]\) 은 검은색 점의 개수를 세고, \(\sum_{j=1}^{(q-1)/2}[\frac{jp}{q}]\) 은 빨간색 점의 개수를 센다
- http://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_quadratic_reciprocity#Eisenstein.27s_proof
\(\sum_{i=1}^{(p-1)/2}[\frac{iq}{p}]+\sum_{j=1}^{(q-1)/2}[\frac{jp}{q}]=\frac{(p-1)(q-1)}{4}\)
[1]
\(\sum_{i=1}^{(p-1)/2}[\frac{iq}{p}]\) 은 검은색 점의 개수를 세고, \(\sum_{j=1}^{(q-1)/2}[\frac{jp}{q}]\) 은 빨간색 점의 개수를 센다