"그레고리-라이프니츠 급수"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
잔글 (찾아 바꾸기 – “<h5>” 문자열을 “==” 문자열로)
잔글 (찾아 바꾸기 – “</h5>” 문자열을 “==” 문자열로)
1번째 줄: 1번째 줄:
−
<h5 style="BACKGROUND-POSITION: 0px 100%; FONT-SIZE: 1.16em; MARGIN: 0px; COLOR: rgb(34,61,103); LINE-HEIGHT: 3.42em; FONT-FAMILY: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
+
<h5 style="BACKGROUND-POSITION: 0px 100%; FONT-SIZE: 1.16em; MARGIN: 0px; COLOR: rgb(34,61,103); LINE-HEIGHT: 3.42em; FONT-FAMILY: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">이 항목의 스프링노트 원문주소==
  
 
* [[그레고리-라이프니츠 급수|라이프니츠 급수]]
 
* [[그레고리-라이프니츠 급수|라이프니츠 급수]]
7번째 줄: 7번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5 style="BACKGROUND-POSITION: 0px 100%; FONT-SIZE: 1.16em; MARGIN: 0px; COLOR: rgb(34,61,103); LINE-HEIGHT: 3.42em; FONT-FAMILY: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">개요</h5>
+
<h5 style="BACKGROUND-POSITION: 0px 100%; FONT-SIZE: 1.16em; MARGIN: 0px; COLOR: rgb(34,61,103); LINE-HEIGHT: 3.42em; FONT-FAMILY: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">개요==
  
 
* 1680년경 발견된 파이의 무한급수 표현
 
* 1680년경 발견된 파이의 무한급수 표현
170번째 줄: 170번째 줄:
 
 
 
 
  
−
==재미있는 사실</h5>
+
==재미있는 사실==
  
 
 
 
 
181번째 줄: 181번째 줄:
 
 
 
 
  
−
==역 사</h5>
+
==역 사==
  
 
 
 
 
193번째 줄: 193번째 줄:
 
 
 
 
  
−
==메 모</h5>
+
==메 모==
  
 
 
 
 
199번째 줄: 199번째 줄:
 
 
 
 
  
−
==관련된 항목들</h5>
+
==관련된 항목들==
  
 
 
 
 
205번째 줄: 205번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5 style="BACKGROUND-POSITION: 0px 100%; FONT-SIZE: 1.16em; MARGIN: 0px; COLOR: rgb(34,61,103); LINE-HEIGHT: 3.42em; FONT-FAMILY: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">수학용어번역</h5>
+
<h5 style="BACKGROUND-POSITION: 0px 100%; FONT-SIZE: 1.16em; MARGIN: 0px; COLOR: rgb(34,61,103); LINE-HEIGHT: 3.42em; FONT-FAMILY: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">수학용어번역==
  
 
* 단어사 전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
 
* 단어사 전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
218번째 줄: 218번째 줄:
 
 
 
 
  
−
==사전 형태의 자료</h5>
+
==사전 형태의 자료==
  
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
231번째 줄: 231번째 줄:
 
 
 
 
  
−
==관 련논문</h5>
+
==관 련논문==
  
 
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
241번째 줄: 241번째 줄:
 
 
 
 
  
−
==관련도서</h5>
+
==관련도서==
  
 
*  도서내검색<br>
 
*  도서내검색<br>
255번째 줄: 255번째 줄:
 
 
 
 
  
−
==관 련기사</h5>
+
==관 련기사==
  
 
*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
 
*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
266번째 줄: 266번째 줄:
 
 
 
 
  
−
==블 로그</h5>
+
==블 로그==
  
 
*  구글 블로그 검색<br>
 
*  구글 블로그 검색<br>

2012년 11월 1일 (목) 13:02 판

이 항목의 스프링노트 원문주소==    
개요==
  • 1680년경 발견된 파이의 무한급수 표현
\(1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\)        라이프니츠 급수에 대한 재미있는 현상 에서는 라이프니츠 급수 \(1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\) 의 5000개의 항을 더했을 때 나타나는 현상을 언급하였다. \(4\sum_{k=1}^{5000}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.141392653591793238362643395479500114198179\cdots\)   3.141392653591793238362643395479500114198179… (위의 급수) 3.141592653589793238462643383279502884197169… (원래 파이값)     이제 왜 이런 현상이 일어났는가 설명하기 위해 오일러수라는 것을 정의하자. 이 수는 시컨트 함수의 맥클로린 급수의 계수를 통하여 다음과 같이 정의된다. \(\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}\)   (여기서 참고로, 보통 사인과 코사인 함수의 맥클로린은 학부생 미적분학에서 쉽게 찾아볼 수 있지만, 탄젠트, 코탄젠트, 시컨트와 같은 삼각함수에 대해서는 잘 얘기를 하지 않는다. \(B_n\)은 베르누이수, \(E_n\)은 오일러수 \(\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\) \(\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\) \(\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}\) 이 수학적으로 흥미로운 계수들에 대하여 말할 수 있는 기회를 놓치는 것이라 생각한다. 아니 미적분학을 말하는데 오일러-맥클로린 공식을 얘기하지 않는단 말인가!!)   처음 몇 개의 오일러수는 다음과 같다. \(E_0=1\),\(E_2 = −1\),\(E_4 = 5\),\(E_6 = −61\),\(E_8 = 1,385\),\(E_{10} = −50,521\),\(E_{12} = 2,702,765\),\(E_{14} = −199,360,981\),\(E_{16} = 19,391,512,145\),\(E_{18} = −2,404,879,675,441\)   이제 다시 본론으로 돌아가서, 라이프니츠 급수의 오차항에 대해 알아보자. 오일러수를 사용하면, 이 급수와 수렴값의 차이를 다음과 같이 표현할 수 있다. \(\pi-4\sum_{k=1}^{N/2}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }\sim \sum_{m=0}^{\infty}\frac{2E_{2m}}{N^{2m+1}}=\frac{2}{N}-\frac{2}{N^3}+\frac{10}{N^5}-\frac{122}{N^7}+\frac{2770}{N^9}-\frac{101042}{N^{11}}+\cdots\)   수학적으로 엄밀하게 말하자면 오른쪽의 급수는 수렴하지 않고, 다음과 같은 정도로 그 크기를 표현할 수 있다. \(4\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }=(-1)^n\sum_{k=0}^{M}\frac{2E_{2k}}{(2n)^{2k+1}}+R(M)\) 여기서 \(|R(M)| \leq \frac{2|E_{2k}|}{(2n)^{2M+1}}\)   따라서 \(N=10^{l}\) 일때,  (4배한) 라이프니츠급수와 파이의 자릿수는 소수점 \(l\)번째(또는 그 앞) 자리에서 처음 다르게 나타난다. 오차항에 대해서는 \(2E_{2(M+1)}\)과 \(10^{2l}\) 의 자릿수가 엇비슷해지는 \(M\)을 찾았을때 \(k=M\) 까지 오차항을 계산하면 파이의 자릿수를 어느 정도 얻을 수 있겠다. 라이프니츠 급수로도 오일러수를 통한 보정으로 파이의 자릿수를 소수점아래 \((2M+1)l\) 자리까지는 얻을 수 있다는 얘기다.   이렇게 하고 끝을 맺으면, 뭔가 얻은거 같은 느낌이 없을 가능성이 높으므로 쉬운 예를 통해서 이해해보자.   예) \(N=10^2\) 인 경우, \(2E_6\)가 네자리 수이므로, \(M=2\) 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 10자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다.   \(4\sum_{k=1}^{50}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.12159465259101047851\cdots\)   0.12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789 3.14159265358979323846… (원래 파이값) 3.12159465259101047851… (위의 급수)   자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수인 2, -2, 10, -122가 나타나는 것을 볼 수 있다.   예) \(N=10^3\) 인 경우, \(2E_{10}\)이 여섯자리 수이므로, \(M=4\) 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 27자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다.   \(4\sum_{k=1}^{500}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.13959265558978323858464061338053947906585258315983\cdots\)   0.12'34567890123456789012345'6789012345678901234567890123456789 3.1'415926535897932384626433'8327950288419716939937510582 3.13959265558978323858464061338053947906585258315983   자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수 2, -2, 10, -122, 2770가 나타난다.     예) \(N=10^4\) 인 경우, \(E_{12}\)가 일곱자리 수이므로, \(M=5\) 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 44자리 정도의 전개를 얻을 수 있다.     \(4\sum_{k=1}^{5000}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.141392653591793238362643395479500114198179\cdots\)   0.12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789 3.141'59265358'979323846264338327950288419716939937510582 3.14139265359'1793238362643395479500'1141981798188345532196965187625458916006334194979629989247706731687   자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 2, -2, 10, -122, 2770, -101042가 나타난다.    이제 이에 대한 좀더 학술적인 안내를 받고 싶다면, 다음 글을 참고하시라.    

재미있는 사실

 

 

 

역 사

 

 

 

메 모

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역==    

사전 형태의 자료

 

 

관 련논문

 

 

관련도서

 

 

관 련기사

 

 

블 로그

원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=그레고리-라이프니츠_급수&oldid=5060"