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| − | + | 단위원과 <math>(-1,0)</math> 를 지나는 기울기가 유리수 <math>t=\frac{q}{p}</math> (<math>p,q</math>는 서로소) 인 직선의 교점을 생각하자. | |
| − | + | 교점의 좌표는 <math>(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})</math> 로 주어진다. 여기서 <math>\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{p^2-q^2}{p^2+q^2}</math>, <math>\frac{2t}{1+t^2}=\frac{2pq}{p^2+q^2}</math>를 얻는다. | |
| − | + | 따라서 정수해 <math>(p^2 - q^2, 2pq, p^2 + q^2)</math> 를 얻는다. | |
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| − | * | + | * Noam D. Elkies, [http://www.math.harvard.edu/%7Eelkies/Misc/hilbert.pdf Pythagorean triples and Hilbert's Theorem 90] |
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| − | + | * [[피타고라스의 정리]] | |
| + | * [[피타고라스]] | ||
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
| − | * http://en.wikipedia.org/wiki/ | + | * http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple |
* http://www.wolframalpha.com/input/?i= | * http://www.wolframalpha.com/input/?i= | ||
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | ||
| − | * [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences] | + | * [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences] |
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ||
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| + | [[분류:디오판투스 방정식]] | ||
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| − | + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q208225 Q208225] | |
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2021년 2월 17일 (수) 04:03 기준 최신판
개요
- \(a^2+b^2=c^2\)를 만족시키는 자연수쌍 \((a,b,c)\)
정리
- 부정방정식 \(a^2+b^2=c^2\) 의 모든 정수해는, 정수 \(p, q\) 에 대하여 \((p^2 - q^2, 2pq, p^2 + q^2)\) 꼴로 나타낼 수 있다.
증명
\(x^2+y^2=z^2\)의 정수해를 모두 구하면 된다.
\(z \neq0\) 을 가정하면, \(x^2+y^2=z^2\) 의 서로소인 정수해는 단위원 \(x^2+y^2=1\) 상의 유리수해와 일대일대응된다.
단위원과 \((-1,0)\) 를 지나는 기울기가 유리수 \(t=\frac{q}{p}\) (\(p,q\)는 서로소) 인 직선의 교점을 생각하자.
교점의 좌표는 \((\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})\) 로 주어진다. 여기서 \(\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{p^2-q^2}{p^2+q^2}\), \(\frac{2t}{1+t^2}=\frac{2pq}{p^2+q^2}\)를 얻는다.
따라서 정수해 \((p^2 - q^2, 2pq, p^2 + q^2)\) 를 얻는다.
예
역사
메모
- Noam D. Elkies, Pythagorean triples and Hilbert's Theorem 90
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
메타데이터
위키데이터
- ID : Q208225
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'pythagorean'}, {'LEMMA': 'triple'}]
- [{'LOWER': 'pythagorean'}, {'LEMMA': 'triple'}]