베르누이 수에 대한 쿰머 합동식

개요

• 쿰머가 발견한 베르누이 수가 만족시키는 합동식
• p진 L-함수 이론을 통해 이해할 수 있다

쿰머 합동식

기호

• 소수 \(p\)와 정수 \(x\)에 대하여, \(\operatorname{ord}_p x\)를 \(a\equiv 0\pmod {p^m}\)을 만족하는 최대의 \(m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\)으로 정의하자
• 유리수 \(x=a/b\)에 대해서는 \(\operatorname{ord}_p x:=\operatorname{ord}_p a-\operatorname{ord}_p b\)
• 유리수체 \(\mathbb{Q}\)위에 함수 \(|\cdot|_p\)를 다음과 같이 정의하자

\[ |x|_{p} = \begin{cases} \frac{1}{p^{\operatorname{ord}_p x}}, & \text{if \]x\neq 0\(;}\\ 0, & \text{if \)x=0\(} \\ \end{cases} \)

• \(B_k\)는 베르누이 수

\[ \begin{array}{c|ccccccccccccccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ \hline B_n & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{1}{42} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{5}{66} & 0 & -\frac{691}{2730} & 0 & \frac{7}{6} & 0 & -\frac{3617}{510} \end{array} \]

정리 (쿰머)

\(p-1\nmid k\)이면 \(|B_k/k|_p \leq 1\)

예

• \(p=5\)라 두면, 다음이 성립한다

\[ \begin{array}{c|c|c|c} k & \frac{B_k}{k} & \operatorname{ord}_p \frac{B_k}{k} & \left| \frac{B_k}{k}\right|_p \\ \hline 2 & \frac{1}{12} & 0 & 1 \\ 6 & \frac{1}{252} & 0 & 1 \\ 10 & \frac{1}{132} & 0 & 1 \\ 14 & \frac{1}{12} & 0 & 1 \\ 18 & \frac{43867}{14364} & 0 & 1 \\ 22 & \frac{77683}{276} & 0 & 1 \\ 26 & \frac{657931}{12} & 0 & 1 \\ 30 & \frac{1723168255201}{85932} & 0 & 1 \\ \end{array} \]

정리 (쿰머)

\(p-1\nmid k,k'\)이고 \(k \equiv k' \pmod {(p-1)p^N}\)이면, \[ (1-p^{k-1})\frac{B_k}{k}\equiv (1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'} \pmod {p^{N+1}} \]

예

• \(p=5\), \(N=1\)로 두자

\[ \begin{array}{c|c|c|c} {k,k'} &(1-p^{k-1})\frac{B_k}{k} &(1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'} & \operatorname{ord}_p \left( (1-p^{k-1})\frac{B_k}{k}-(1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'}\right) \\ \hline \{2,22\} & -\frac{1}{3} & -\frac{9260535240173320423}{69} & 2 \\ \{6,26\} & -\frac{781}{63} & -\frac{49019679427146911456611}{3} & 2 \\ \{10,30\} & -\frac{488281}{33} & -\frac{80241274796472862362430841236981}{21483} & 2 \\ \{14,34\} & -\frac{305175781}{3} & -\frac{4412975905899656936526260615774831}{3} & 2 \\ \{18,38\} & -\frac{8366966247547627}{3591} & -\frac{2805067306174551049480214676451415787241}{3} & 2 \\ \end{array} \]

메모

• http://www.rac.es/ficheros/doc/00261.pdf

관련된 항목들

• P진 해석학(p-adic analysis)
• 베르누이-후르비츠 수

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxR1VJeDZ0VmZhdW8/edit

리뷰, 에세이, 강의노트

• Robledo, Alvaro Lozano. “Bernoulli Numbers, Hurwitz Numbers, P-Adic L-Functions and Kummer’s Criterion.” RACSAM 101, no. 1 (2007): 1–32.

사전 형태의 자료

• https://en.wikipedia.org/wiki/Kummer's_congruence

메타데이터

위키데이터

• ID : Q21450632

Spacy 패턴 목록

• [{'LEMMA': 'Kummer'}]