'142857의 신비' 해설
개요
- 인터넷에 떠돌아다니고 있는 ‘142857의 신비‘에 대한 이해
세상에서 가장 신비한 수는 142857 이라는 수입니다.
평범해보이는 이 수가 왜 그렇게 신비한걸까요? 142857에 1부터 6까지 차례로 곱해볼까요? 142857 X 1 = 142857 142857 X 2 = 285714 142857 X 3 = 428571 142857 X 4 = 571428 142857 X 5 = 714285 142857 X 6 = 857142 이렇게 똑같은 숫자가 자릿수만 바꿔서 나타나니 신기하죠. 그러면 142857 에 7을 곱하면 얼마일까요? 답은 놀랍게도 999999 입니다. 게다가 142 + 857 = 999 이고 14 + 28 + 57 = 99 입니다. 마지막으로 142857 을 제곱하면 얼마가 될까요? 142857 을 제곱하면 20408122449 라는 수가 나오는데 20408 + 122449 = 142857 이 된답니다.
- 수학적 배경
나눗셈과정과 표만들기
- \(1/7=0.142857142857\cdots\)를 얻는 나누기 과정
- 나누기 과정의 요약
1 ->10 ÷ 7 = 1 … 3 ->30 ÷ 7 = 4 … 2 ->20 ÷ 7 = 2 … 6 ->60 ÷ 7 = 8 … 4 ->40 ÷ 7 = 5 … 5 ->50 ÷ 7 = 7 … 1 -> … 무한반복 …
- 표로 만들기
1 3 2 6 4 5 … ↓ / ↓ / ↓ / ↓ / ↓ / ↓ / ↓1 4 2 8 5 7 …
- 위의 표의 사용방법은 지난 글에 설명되어 있으니, 반드시 숙지
- 중요한 것은 표에 있는 화살표 따라가기
142857과 곱하기
142857에 1부터 6까지 차례로 곱해볼까요? 142857 X 1 = 142857 142857 X 2 = 285714 142857 X 3 = 428571 142857 X 4 = 571428 142857 X 5 = 714285 142857 X 6 = 857142
그러면 142857 에 7을 곱하면 얼마일까요? 답은 놀랍게도 999999 입니다.
[해설]\[ 142857 = \frac{1 \times 10^6}{7} - \frac{1}{7} = 142857\]\[ 142857 \times 2 = \frac{2 \times 10^6}{7} - \frac{2}{7} = 285714\]\[ 142857 \times 3 = \frac{3 \times 10^6}{7} - \frac{3}{7} = 428571\]\[ 142857 \times 4 = \frac{4 \times 10^6}{7} - \frac{4}{7} = 571428\]\[ 142857 \times 5 = \frac{5 \times 10^6}{7} - \frac{5}{7} = 714285\]\[ 142857 \times 6 = \frac{6 \times 10^6}{7} - \frac{6}{7} = 857142\]\[ 142857 \times 7 = \frac{7 \times 10^6}{7} - \frac{7}{7} = 1000000 - 1 = 999999\]
142857과 더하기
게다가 142 + 857 = 999 이고
14 + 28 + 57 = 99 입니다.
[해설]\[142 = \frac{1 \times 10^3}{7} - \frac{6}{7}\]\[857 = \frac{6 \times 10^3}{7} - \frac{1}{7}\]\[142 + 857 = 1000 - 1 = 999\]\[14 = \frac{1 \times 10^2}{7} - \frac{2}{7}\]\[28 = \frac{2 \times 10^2}{7} - \frac{4}{7}\]\[57 = \frac{4 \times 10^2}{7} - \frac{1}{7}\]\[14 +28 + 57 = 100 - 1 = 99\]
142857의 제곱
마지막으로 142857 을 제곱하면 얼마가 될까요? 142857 을 제곱하면 20408122449 라는 수가 나오는데 20408 + 122449 = 142857 이 된답니다.
[해설]\[142857^2 = (\frac{1 \times 10^6}{7} - \frac{1}{7})^2 = \frac{1 \times 10^{12}}{49} - \frac{2 \times 10^6}{49} + \frac{1}{49}\]
이 단계에서는 이제 7이 아닌 49를 다루기 위한 표가 필요하다.
1 ÷ 49 = 0.02040816326530612244897959183673469387755102040816…
이제 1/7에서와 같은 방법으로 다음 표를 만든다. 이제 화살표는 생략
| 나머지 | 1 | 10 | 2 | 20 | 4 | 40 | 8 | 31 | 16 | 13 | 32 | 26 | 15 | 3 | 30 |
| 몫 | 0 | 2 | 0 | 4 | 0 | 8 | 1 | 6 | 3 | 2 | 6 | 5 | 3 | 0 | 6 |
표는 오른쪽으로 계속되지만 이 정도면 목적을 달성하기에 충분하다. 이제 이 표를 활용하면,
\(\frac{1 \times 10^{12}}{49} = 020408163265 +\frac{15}{49}\)
\(\frac{2 \times 10^6}{49} = 040816 +\frac{16}{49}\)
\(\frac{1}{49}= 0 + \frac{1}{49}\)
따라서
\(142857^2 = \frac{1 \times 10^{12}}{49} - \frac{2 \times 10^6}{49}+\frac{1}{49} = 20408163265 - 40816 + \frac{15}{49} - \frac{16}{49} +\frac{1}{49}\)
\(= 20408122449\)
이제 모든 준비가 끝났다.
위에서 20408122449는 아래와 같은 과정을 거쳐서 얻어졌다. 20408 + 122449 = 20408 + 163265 – 40816
20408, 163265, 40816 은 모두 위의 표에서 아래줄에 있는 숫자들을 연달아 써놓은 녀석들이 아니던가, 그렇다면 표를 통해서 분모가 49인 분수를 사용하여 표현할 수 있다.
\(20408 = \frac{10 \times 10^5}{49} -\frac{8}{49}\)
\(163265 = \frac{80 \times 10^5}{49} -\frac{15}{49}\)
\(40816 = \frac{20 \times 10^5}{49} -\frac{16}{49}\)
\(20408 + 163265 - 40816 = \frac{(10+80-20) \times 10^5}{49} -\frac{(8+15-16)}{49}= \frac{70 \times 10^5}{49}-\frac{7}{49}\)
정리하면,
\(20408 + 122449 = \frac{10^6}{7}-\frac{1}{7}\)
이 녀석은 이제는 너무나 익숙해져버린 142857 이 아니던가.
관련된 항목들
블로그
- 142857와 군론의 만남(3) : 142857의 신비, 완벽해설!
- 피타고라스의 창, 2008-9-4