Ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)

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개요

리만 제타 함수 $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$ 는 정수론, 특히 소수 연구에서 아주 중요한 함수임
짝수에서의 리만 제타 함수의 값은 잘 알려져 있음
- 정수에서의 리만제타함수의 값
  $\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1$
홀수 값들에 대해서는 알려진 바가 별로 없음
- $\zeta(3)$은 무리수. (초월성에 대해서는 모름)
- $\zeta(2n+1)$ 중 무리수인 것은 무수히 많다.
- $\zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11)$ 중 적어도 하나는 무리수이다.

Apery's constant

1979년 Apery는 $\zeta(3)$ 이 무리수임을 보였다.
- $\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}{n}}$
- ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리
그때부터 $\zeta(3)$ 는 Apery's constant 라 불린다.

증명

Apery의 증명보다 좀 더 깔끔한 형태의 증명(Beuker의 증명과 유사)

보조정리들

충분히 큰 n에 대하여, 1, 2, 3, …, n 의 최소공배수($d_n$라 쓰자)는 $2.99^n$ 보다 작다.
- $d_n = \prod_{\substack{p\le n\\ p \mathrm{\ prime}}} p^{\Lfloor \log_p n \Rfloor} \le \prod_{\substack{p\le n\\ p \mathrm{\ prime}}} p^ {\log_p n} = \prod_{\substack{p\le n\\ p \mathrm{\ prime}}} n = n^{\pi(n)}$
- 소수정리에 의하여, $\pi(n) < \log2.99\cdot \frac{n}{\log n}$ 그러므로 $n^{\pi(n)} < n^{\log_n 2.99^n} = 2.99^n$
- 그러므로 $d_n$ < $2.99^n$
r, s 는 음 아닌 정수라 하자.
- r > s 이면
  - $\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^r y^s}{1-xy}dxdy$ 는 분모가 $d_r^2$의 약수인 유리수이다.
  - $\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{-x^r y^s \log(xy)}{1-xy}dxdy $ 는 분모가 $d_r^3$의 약수인 유리수이다.
- r = s 이면
  - $\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^r y^s}{1-xy}dxdy = \zeta(2) - \sum_{j = 1}^{r}\frac{1}{j^2}$
  - $\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{-x^r y^s \log(xy)}{1-xy}dxdy = 2(\zeta(3) - \sum_{j = 1}^{r}\frac{1}{j^3})$
    (여기서 r = 0 이면 $\sum_{j = 1}^{r}a_j = 0$이라 하자)
$u, v, w \in (0,1)$ 이면, $ $\varphi(u, v, w) = \frac{u(1-u)v(1-v)w(1-w)}{1-(1-uv)w} \le \frac{1}{27}$
- 산술기하 부등식에서, $1- (1-uv)w = (1-w) + uvw \ge 2\sqrt{1-w}\sqrt{uvw}$이다. 그러므로, $\varphi(u,v,w) \le \frac{1}{2}\sqrt{(1-w)uvw}(1-u)(1-v)$$ ì´ë¤.$
  $0<x<1$에서 $x(1-x)$의 최대값은 $\frac{1}{4}$이고, $x(1-x^2)$의 최대값은 $\frac{2}{3\sqrt{3}}$이다. 그러므로,
- $\begin{eqnarray*} \varphi(u,v,w) &\le& \frac{1}{2}\sqrt{(1-w)w}\cdot\sqrt{u}(1-u)\cdot\sqrt{v}(1-v) \\ &\le& \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3\sqrt{3}}\cdot \frac{2}{3\sqrt{3}}\\ &=& \frac{1}{27} \end{eqnarray*} # $

이제 주어진 명제를 증명할 수 있다.

(정의) 다항식 $P_n$을 다음과 같이 정의하자.
- $P_n(x) = \frac{1}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\big(x^n(1-x)^n\big)$
- 그러면 이 다항식은 정수계수 다항식인것을 알 수 있다.
(정의) $I_n = \int_0^1\int_0^1\frac{-\log(xy)}{1-xy}P_n(x)P_n(y) dxdy$ 라고 하자. 아래의 과정을 살펴 보자.
- $P_n(x)P_n(y)$는 정수계수 다항식이다. 그러므로, 위 두번째 보조정리에 의하여,$I_n = \frac{A_n + B_n\zeta(3)}{d_n^3}$를 만족하는 정수 $A_n,\ B_n$가 존재한다.
  $\int_0^1\frac{1}{1-(1-xy)z}dz = -\frac{\log(xy)}{1-xy}$이므로, $I_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{P_n(x)P_n(y)}{1-(1-xy)z} dxdydz$라고 쓸 수 있다.
- 연쇄법칙과 부분적분을 이용해서, 다음을 확인할 수 있다.
  $\begin{eqnarray*} I_n &=& \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{P_n(x)P_n(y)}{1-(1-xy)z} dxdydz \\ &=& \frac{1}{n!}\int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{ \frac{d}{dx}\Big(\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\big(x^n(1-x)^n\big)\Big) P_n(y)}{1-(1-xy)z} dxdydz\\ &=& \frac{1}{n!}\int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{ P_n(y)}{1-(1-xy)z} d\Big(\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\big(x^n(1-x)^n\big)\Big) dydz \\ &=& \frac{1}{n!}\int_0^1\int_0^1\int_0^1 P_n(y) yz \frac{\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\big(x^n(1-x)^n\big)}{\big(1-(1-xy)z\big)^2} dxdydz \end{eqnarray*}$
  위 과정을 n번 반복하면 $I_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 P_n(y) \frac{(xyz)^n(1-x)^n}{\big(1-(1-xy)z\big)^{n+1}} dxdydz$이다.
- $w = \frac{1-z}{1-(1-xy)z}$를 치환하면, $I_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{(1-x)^n (1-w)^n P_n(y)}{1-(1-xy)w} dxdydw$ 이다.
  위와 같이 n 번의 부분적분을 거치면 $I_n = \int_0^1\int_0^1\frac{-\log(xy)}{1-xy}P_n(x)P_n(y) dxdy = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{\big(x(1-x)y(1-y)z(1-z)\big)^n}{\big(1 - (1-xy)w\big)^{n+1}} dxdydw$
- 다시, 두번째와 세번째 보조정리에 의해서
  $\begin{eqnarray*} I_n &\le& \frac{1}{27^n} \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{1}{1 - (1-xy)w}dxdydz \\ &=& \frac{1}{27^n}\int_0^1\int_0^1\frac{-\log(xy)}{1-xy}dxdy = \frac{2}{27^n}\zeta(3) \end{eqnarray*}$
- 최종적으로 다음이 성립한다.$0 < |A_n + B_n \zeta(3)| d_n^{-3} < 2\zeta(3)\frac{1}{27^n}$
귀류법을 사용하자. 결론을 부정하여 $\zeta(3)$이 유리수, 예컨대 $$\zeta(3) = \frac{a}{b}$ 라 하자(a, b는 서로소인 자연수).
- 첫번째 보조정리에 의하여,
  $0 < |bA_n + aB_n| < 2b \zeta(3) \Big(\frac{d_n}{3^n}\Big)^3 < 2b \zeta(3) \Big(\frac{2.99}{3}\Big)^{3n} $
  충분히 큰 n을 잡으면, 자연수인 $|bA_n + aB_n|$ 가 1보다 작아지므로 모순이다.
그러므로, $\zeta(3)$은 무리수이다.

재미있는 사실

Math Overflow
http://mathoverflow.net/questions/30659/establishing-zeta3-as-a-definite-integral-and-its-computation/30698#30698
http://mathoverflow.net/search?q=
네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

역사

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http://www.math.uu.nl/people/beukers/caen.pdf

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