슈테판-볼츠만 법칙

수학노트
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개요

  • 흑체의 온도 $T$와 단위 면적당 복사 에너지 $R(T)$의 관계에 대한 슈테판-볼츠만 법칙

$$R(T)=\sigma T^4$$ 여기서 $\sigma$는 슈테판-볼츠만 상수

  • 플랑크는 양자 가설을 이용하여 이 법칙을 유도
  • 이 유도과정에는 \(\zeta(4)\)가 등장하며, 슈테판-볼츠만 상수는 다음과 같이 주어짐

\[ \sigma=\frac{2\pi^5 k^4}{15c^2h^3}= 5.670373 \times 10^{-8}\, \mathrm{W\, m^{-2}K^{-4}}, \] 여기서 k는 볼츠만 상수, h는 플랑크 상수, c는 빛의 속도


슈테판-볼츠만의 법칙

\[R(T)=\frac{2\pi h}{c^2}\int_0^\infty \frac{\nu^3}{ e^{\frac{h \nu}{kT}}-1} d \nu=\frac{2 \pi ^5 k^4}{15 c^2 h^3} T^4\]

  • 상수를 제외하면 다음과 같은 적분

\[\int_{0}^{\infty}\frac{x^3}{e^x-1}dx=\Gamma(4)\zeta(4)=\frac{\pi^4}{15}\]

  • 더 일반적으로 다음과 같은 적분을 할 수 있음.

\[\int_{0}^{\infty}\frac{x^{n}}{e^x-1}dx=\int_{0}^{\infty}x^{n}(e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+e^{-4x}+e^{-5x}+\cdots)dx=\Gamma(n+1)\zeta(n+1)\]\[\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-kx}dx=\frac{\Gamma(n+1)}{k^{n+1}}\]


메모

  • 자코비 세타함수 를 이용하여 리만제타함수와 리만가설를 해석적으로 확장하는 것과의 유사성\[\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)= \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\]
  • 슈테판-볼츠만 법칙을 유도하는 과정에서 나오는 적분의 경우\[\int_{0}^{\infty}\frac{1}{e^t-1}t^s\frac{dt}{t}=\int_{0}^{\infty}t^{s-1}(e^{-t}+e^{-2t}+e^{-3t}+e^{-4t}+e^{-5t}+\cdots)dt=\Gamma(s)\zeta(s)\]
  • \(\psi(t)=i \cot \frac{t}{2}\) 로 두면, \[ \frac{\psi(it)-1}{2}=\frac{1}{e^t-1}\]\[\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i \cot ix \]

\[\int_{0}^{\infty}(\frac{\coth t/2-1}{2})t^s\frac{dt}{t}=\Gamma(s)\zeta(s)\] \[\int_{0}^{\infty}(\frac{\coth t-1}{2})t^s\frac{dt}{t}=2^{-s}\Gamma(s)\zeta(s)\]


역사



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트

  • Cardy, John. “The Ubiquitous ‘c’: From the Stefan-Boltzmann Law to Quantum Information.” Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment 2010, no. 10 (October 7, 2010): P10004. doi:10.1088/1742-5468/2010/10/P10004.


관련논문

  • Moreira Jr., E. S., and T. G. Ribeiro. “Stefan-Boltzmann Law for Massive Photons.” arXiv:1512.05927 [hep-Th, Physics:quant-Ph], December 18, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.05927.
  • Robinson, John E. “Note on the Bose-Einstein Integral Functions.” Physical Review 83, no. 3 (August 1, 1951): 678–79. doi:10.1103/PhysRev.83.678.