"Ζ(4)와 중심이항계수"의 두 판 사이의 차이

수학노트
이동: 둘러보기, 검색
(새 문서: ==중심이항계수== * 중심이항계수(central binomial coefficient) * 로그 사인 적분 (log sine integrals) 의 결과를 이용 :<math>\zeta(4) = \frac{36}{17} \s...)
(차이 없음)

2015년 3월 20일 (금) 23:53 판

중심이항계수

\[\zeta(4) = \frac{36}{17} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}\]

증명

아크사인함수의 멱급수로부터 다음을 얻는다. \[2(\sin^{-1} x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\] 이를 이용하여, 다음을 증명할 수 있다 \[I=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{u}(\sin^{-1} x)^2\frac{dx}{x}\frac{du}{u}\]

한편 \[I=\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{u}(\sin^{-1} x)^2\frac{dx}{x}\frac{du}{u}=2\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{17\pi^4}{3240}\]