"Ζ(4)와 중심이항계수"의 두 판 사이의 차이
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Pythagoras0 (토론 | 기여) (새 문서: ==중심이항계수== * 중심이항계수(central binomial coefficient) * 로그 사인 적분 (log sine integrals) 의 결과를 이용 :<math>\zeta(4) = \frac{36}{17} \s...) |
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2015년 3월 20일 (금) 23:53 판
중심이항계수
\[\zeta(4) = \frac{36}{17} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}\]
- 증명
아크사인함수의 멱급수로부터 다음을 얻는다. \[2(\sin^{-1} x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\] 이를 이용하여, 다음을 증명할 수 있다 \[I=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{u}(\sin^{-1} x)^2\frac{dx}{x}\frac{du}{u}\]
한편 \[I=\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{u}(\sin^{-1} x)^2\frac{dx}{x}\frac{du}{u}=2\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{17\pi^4}{3240}\]
- On an Intriguing Integral and Some Series Related to ζ(4)
- David Borwein and Jonathan M. Borwein, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 123, No. 4 (Apr., 1995), pp. 1191-1198