"Ζ(4)와 중심이항계수"의 두 판 사이의 차이

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;증명
 
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아크사인함수의 멱급수로부터 다음을 얻는다.
 
아크사인함수의 멱급수로부터 다음을 얻는다.
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:<math>2(\sin^{-1} x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}</math>
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:<math>2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}</math>  
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이를 이용하여, 다음을 증명할 수 있다
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양변을 $2x$로 나누고 적분을 하여 다음을 얻는다
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:<math>I=\frac{1}{8}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{u}(\sin^{-1} x)^2\frac{dx}{x}\frac{du}{u}\label{cen}
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$$
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</math>
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\begin{aligned}
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\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx\,\frac{du}{u}&=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(2x)^{2n-1}}{n^2\binom{2n}{n}}\,dx\,\frac{du}{u}\\
 +
&=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{(2u)^{2n}}{4n^3\binom{2n}{n}}\,\frac{du}{u}\\
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&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{8n^4\binom{2n}{n}}
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\end{aligned}
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\label{cen}
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$$
  
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\ref{cen}의 우변은
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\ref{cen}의 좌변은
 
:<math>I=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx\,\frac{du}{u}=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{x}^{\frac{1}{2}}\frac{(\arcsin x)^2}{xu}\,du\,dx=-\int_{0}^{\frac{1}{2}}\log 2x\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx</math> 이므로,
 
:<math>I=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx\,\frac{du}{u}=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{x}^{\frac{1}{2}}\frac{(\arcsin x)^2}{xu}\,du\,dx=-\int_{0}^{\frac{1}{2}}\log 2x\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx</math> 이므로,
  
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==메모==
 
==메모==
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* L. Comtet, Advanced Combinatorics, Reidel, 1974, p. 89, Exercise.
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:<math>2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}</math> 의 양변을 <math>2x</math>로 나눈뒤, 다음과 같은 적분을 구하자.
 
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:<math>\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx\,\frac{du}{u}=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(2x)^{2n-1}}{n^2\binom{2n}{n}}\,dx\,\frac{du}{u}=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{(2u)^{2n}}{4n^3\binom{2n}{n}}\,\frac{du}{u}</math>
 
  
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우변으로부터 다음을 얻는다.
 
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:<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{8n^4\binom{2n}{n}}</math>
 
  
  

2015년 3월 21일 (토) 18:29 판

개요

\[\zeta(4) = \frac{36}{17} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}\]


Comtet의 공식

정리(Comtet의 공식)

\[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\frac{17\pi^4}{3240}\]


증명

아크사인함수의 멱급수로부터 다음을 얻는다. \[2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\] 양변을 $2x$로 나누고 적분을 하여 다음을 얻는다 $$ \begin{aligned} \int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx\,\frac{du}{u}&=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(2x)^{2n-1}}{n^2\binom{2n}{n}}\,dx\,\frac{du}{u}\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{(2u)^{2n}}{4n^3\binom{2n}{n}}\,\frac{du}{u}\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{8n^4\binom{2n}{n}} \end{aligned} \label{cen} $$


\ref{cen}의 좌변은 \[I=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx\,\frac{du}{u}=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{x}^{\frac{1}{2}}\frac{(\arcsin x)^2}{xu}\,du\,dx=-\int_{0}^{\frac{1}{2}}\log 2x\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx\] 이므로,

\(x=\sin\frac{t}{2}\)로 치환하면,

\[I=-\int_{0}^{\frac{1}{2}}\log 2x\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx=\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx\]를 얻는다.

이제 로그 사인 적분 (log sine integrals) 에서 얻은 다음 결과를 사용하자. \[\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{17\pi^4}{6480}\] 따라서, \[8I=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=2\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{17\pi^4}{3240}\] ■

메모

  • L. Comtet, Advanced Combinatorics, Reidel, 1974, p. 89, Exercise.


매스매티카 파일 및 계산 리소스

관련논문

  • Borwein, J. M., D. J. Broadhurst, and J. Kamnitzer. “Central Binomial Sums, Multiple Clausen Values and Zeta Values.” arXiv:hep-th/0004153, April 22, 2000. http://arxiv.org/abs/hep-th/0004153.
  • Borwein, David, and Jonathan M. Borwein. “On an Intriguing Integral and Some Series Related to ζ(4).” Proceedings of the American Mathematical Society 123, no. 4 (April 1, 1995): 1191–98. doi:10.2307/2160718. http://www.jstor.org/stable/2160718
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