Ζ(4)와 중심이항계수

개요

• 중심이항계수(central binomial coefficient)
• 로그 사인 적분 (log sine integrals) 의 결과를 이용

\[\zeta(4) = \frac{36}{17} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}\]

Comtet의 공식

정리(Comtet의 공식)

\[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\frac{17\pi^4}{3240}\]

증명

아크사인함수의 멱급수로부터 다음을 얻는다. \[2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\] 양변을 $2x$로 나누고 적분을 하여 다음을 얻는다 $$ \begin{aligned} \int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx\,\frac{du}{u}&=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(2x)^{2n-1}}{n^2\binom{2n}{n}}\,dx\,\frac{du}{u}\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{(2u)^{2n}}{4n^3\binom{2n}{n}}\,\frac{du}{u}\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{8n^4\binom{2n}{n}} \end{aligned} \label{cen} $$

\ref{cen}의 좌변은 \[I=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx\,\frac{du}{u}=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{x}^{\frac{1}{2}}\frac{(\arcsin x)^2}{xu}\,du\,dx=-\int_{0}^{\frac{1}{2}}\log 2x\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx\] 이므로,

\(x=\sin\frac{t}{2}\)로 치환하면, $$ I=-\int_{0}^{\frac{1}{2}}\log 2x\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx=-\int_{0}^{\pi/3}\frac{1}{8} t^2 \cot \left(\frac{t}{2}\right) \log \left(2 \sin \left(\frac{t}{2}\right)\right)\,dt $$ 우변에 부분적분을 적용하면 다음을 얻는다: $$ \begin{aligned} I&=-\int_{0}^{\pi/3}\frac{1}{8} t^2 \cot \left(\frac{t}{2}\right) \log \left(2 \sin \left(\frac{t}{2}\right)\right)\,dt\\ &=\frac{1}{4} \int_{0}^{\pi/3} t \log ^2\left(2 \sin \left(\frac{t}{2}\right)\right) \, dt-\frac{1}{8} \left[t^2 \log ^2\left(2 \sin \left(\frac{t}{2}\right)\right)\right]_{0}^{\pi/3}\\ &=\frac{1}{4} \int_{0}^{\pi/3} t \log ^2\left(2 \sin \left(\frac{t}{2}\right)\right) \, dt \end{aligned} $$ 이제 로그 사인 적분 (log sine integrals) 에서 얻은 다음 결과를 사용하자. \[\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{17\pi^4}{6480}\] 따라서, \[8I=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=2\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{17\pi^4}{3240}\] ■

메모

• L. Comtet, Advanced Combinatorics, Reidel, 1974, p. 89, Exercise.

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxZEhJeGpWcjVHRzQ/edit
• https://oeis.org/A013662

관련논문

• Borwein, J. M., D. J. Broadhurst, and J. Kamnitzer. “Central Binomial Sums, Multiple Clausen Values and Zeta Values.” arXiv:hep-th/0004153, April 22, 2000. http://arxiv.org/abs/hep-th/0004153.
• Borwein, David, and Jonathan M. Borwein. “On an Intriguing Integral and Some Series Related to ζ(4).” Proceedings of the American Mathematical Society 123, no. 4 (April 1, 1995): 1191–98. doi:10.2307/2160718. http://www.jstor.org/stable/2160718