가우스와 정17각형의 작도

간단한 소개

• 가우스는 정17각형이 자와 컴파스로 작도가능함을 증명함.
• 대수적으로 보자면, \(x^{16}+x^{15}+\cdots+x+1=0\)의 풀이를 반복적인 2차방정식의 풀이로 환원할 수 있는가의 문제.
• 쉬운 예를 들자면, \(x^4+x^3+x^2+x+1=0\) 은 다음과 같은 순서로 풀수 있음.

양변을 \(x^2\)으로 나누면, \(x^2+x+1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=0\) 을 얻게됨.

\(t=x+\frac{1}{x}\) 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있음.

\(x^2+\frac{1}{x^2}+x+\frac{1}{x}+1=(x+\frac{1}{x})^2+(x+\frac{1}{x})-1=t^2+t-1=0\)

방정식을 풀어가면,

 

\(t^2+t-1=0\)

\(t=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)

\(t=x+\frac{1}{x}\)

\(x^2-tx+1=0\)

\(x=\frac{t+\sqrt{t^2-4}}{2}\)

 을 얻게 됨. 

따라서 x는 유리수에서 시작하여, 사칙연산에 제곱근을 사용하여 표현가능하고, 따라서 자와 컴파스를 활용하여 작도가능.

• \(x^{16}+x^{15}+\cdots+x+1=0\) 의 경우에도 본질적으로는 위의 경우와 다르지 않으나, 2차방정식을 네번 풀어야 하고, 좀더 복잡해짐. 자세한 사항은 아래의 참고할 만한 자료를 볼 것.

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 추상대수학
  
  • 순환군 (cyclic groups)
  • 가해군 (solvable groups)
• 초등정수론
  
  • 합동식
  • 원시근 (primitive roots)

 

 

 

관련된 다른 주제들

• 그리스 3대 작도 불가능문제

 

표준적인 도서 및 추천도서

• Famous Problems of Elementary Geometry (Dover Phoenix Editions)
  
  • Felix Klein
  • 얇은 책으로, 대수방정식과 함께 고대 그리스 3대 작도 불가능문제를 소개함.

위키링크

• http://en.wikipedia.org/wiki/Heptadecagon

 

참고할만한 자료

• The constuction of the Regular Polygon of 17 sides (pdf)
  
  • 클라인의 Famous Problems of Elementary Geometry 에서 발췌.
•  
• 정17각형의 작도 과정을 보여주는 동영상
  
  • Youtube