가우스 합과 데데킨트 합의 관계

개요

• 가우스 합\[S(p,q)=\sum_{r=0}^{q-1} e^{\pi i pr^2/q}\]
• 데데킨트 합\[s(b,c)=\frac{1}{4c}\sum_{n=1}^{c-1} \cot \left( \frac{\pi n}{c} \right) \cot \left( \frac{\pi nb}{c} \right)\]
• 둘 사이의 관계

정의

• \(ac\)가 짝수인 서로 소인 정수a,c>0 를 생각하자
• 데데킨트합\[\operatorname{Ddk}(a,c)=\frac{1}{4 c}\sum _{n=0}^{c-1} \cot \left(\frac{\pi (2 n+1)}{2 c}\right) \cot \left(\pi \left(\frac{a (2 n+1)}{2 c}+\frac{1}{2}\right)\right)\]
• 가우스합\[\operatorname{Ga}(a,c)=\frac{1}{\sqrt{c}}\sum _{r=0}^{c-1} \exp \left(\frac{i \pi a r^2}{c}\right)\]
• remark 이 정의는 위에서의 정의와는 다르다

가우스 합과 데데킨트 합의 관계

• \(\operatorname{Ga}(a,c)=\exp(-\pi i \operatorname{Ddk}(a,c))\)

메모

• 자코비 삼중곱(Jacobi triple product)\[\sum_{n=-\infty}^\infty z^{n}q^{n^2}= \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + zq^{2m-1}\right) \left( 1 + z^{-1}q^{2m-1}\right)\]
• \(z=1\) 인 경우

\(\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2}= \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + q^{2m-1}\right)^2\)

\(\sqrt{t}\theta(\frac{p}{q}+it)\sim \frac{1}{q}S(p,q)=\frac{1}{q}\sum_{r=0}^{q-1} e^{\pi i pr^2/q}\)

\(\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\exp({\frac{\pi^2}{6k^2t}})\eta(\frac{h}{k}+i\frac{t}{2\pi})\sim \frac{\exp\left(\pi i (\frac{h}{12k}-s(h,k)\right)}{\sqrt{k}}\)

• asymptotic analysis of basic hypergeometric series
• asymptotic analysis of modular function

메모

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

관련된 항목들

• 데데킨트 합
• 가우스 합

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxdDl3MU5mQXAwZzA/edit

관련논문

• SCZECH, Robert. 1995. “Gaussian Sums, Dedekind Sums and the Jacobi Triple Product Identity.” Kyushu Journal of Mathematics 49 (2): 233–241. doi:10.2206/kyushujm.49.233