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| − | * 유한군이 다음 조건을 만족하는 부분군의 열을 가질 때, 가해군이라 한다 (1) | + | * 유한군이 다음 조건을 만족하는 부분군의 열을 가질 때, 가해군이라 한다 (1) <math>G=G_0 \supset G_1 \supset G_2 \supset \cdots \supset G_m=\{\text{id}\}</math> (2) <math>G_i/G_{i+1}</math>는 [[순환군]] |
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| − | 체 F는 | + | 체 F는 적당한 primitive n-th root of unity를 모두 가진다고 가정하자. |
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| − | [[거듭제곱근 체확장(radical extension)]] | + | [[거듭제곱근 체확장(radical extension)]] 의 타워가 다음과 같이 주어졌다고 하자. |
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| − | 이 체확장의 | + | 이 체확장의 타워로부터 <math>G=\text{Gal}(K/F)</math>의 부분군으로 이루어진 타워를 얻는다 |
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| + | ==메타데이터== | ||
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| + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q759832 Q759832] | ||
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
| + | * [{'LOWER': 'solvable'}, {'LEMMA': 'group'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 04:57 기준 최신판
개요
정의
- 부분군으로 이루어진 타워\[G=G_0 \supset G_1 \supset G_2 \supset \cdots G_m\]
- 유한군이 다음 조건을 만족하는 부분군의 열을 가질 때, 가해군이라 한다 (1) \(G=G_0 \supset G_1 \supset G_2 \supset \cdots \supset G_m=\{\text{id}\}\) (2) \(G_i/G_{i+1}\)는 순환군
거듭제곱근 체확장과의 관계
- 5차방정식과 근의 공식 을 군론의 측면에서 이해하기 위해 가장 중요한 정리
(정리)
체 F는 적당한 primitive n-th root of unity를 모두 가진다고 가정하자.
\(F\)의 거듭제곱근 체확장 \(K\)에 대하여 \(G=\text{Gal}(K/F)\)는 가해군이다.
(증명)
거듭제곱근 체확장(radical extension) 의 타워가 다음과 같이 주어졌다고 하자.
\(F=F_0 \subset F_1 \subset F_2 \subset \cdots \subset F_r=K\)
자연수 \(n_1,\cdots,n_r\)이 존재하여, \(a_1^{n_1}\in F\) 이고 \(1<i\leq r\)에 대하여 \(a_i^{n_i} \in F(a_1,a_2,\cdots,a_{i-1})\)
이 체확장의 타워로부터 \(G=\text{Gal}(K/F)\)의 부분군으로 이루어진 타워를 얻는다
\(G=G_0=\text{Gal}(K/F_{0}) \supset \text{Gal}(K/F_{1}) \supset \text{Gal}(K/F_{2}) \supset \cdots \supset \text{Gal}(K/F_{r})=\{\text{id}\}\)
\(G_i=\text{Gal}(K/F_{i})\)로 두자
갈루아 이론의 기본정리에 의하여, 다음을 얻는다
\(G_i/G_{i+1}=\text{Gal}(K/F_{i})/\text{Gal}(K/F_{i+1})\cong \text{Gal}(F_{i+1}/F_{i})\cong C_{n_i}\)
따라서 \(G=\text{Gal}(K/F)\)는 가해군이다. ■
역사
메모
관련된 항목들
사전 형태의 자료
메타데이터
위키데이터
- ID : Q759832
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'solvable'}, {'LEMMA': 'group'}]