"갈고리 길이 공식 (hook length formula)"의 두 판 사이의 차이
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2014년 1월 22일 (수) 21:14 판
개요
- 주어진 자연수 $n$의 분할 $\lambda$ 또는 영 다이어그램에 대한 표준 영 태블로의 개수를 세는 공식
- 영 다이어그램에 대응되는 대칭군 (symmetric group) $S_n$의 기약 표현 $V_{\lambda}$의 차원은 표준 영 태블로의 개수와 같으므로, 차원에 대한 공식으로 볼 수도 있다
$$ \dim V_{\lambda}=\frac{n!}{\prod\text{(hook lengths)}} $$
갈고리
- 영 다이어그램의 각 상자에 다음과 같이 번호를 붙이자. 다음은 $\lambda=(4,2,1)$에 대한 예.
$$ \begin{array}{cccc} \boxed{1,1} & \boxed{1,2} & \boxed{1,3} & \boxed{1,4} \\ \boxed{2,1} & \boxed{2,2} & {} & {} \\ \boxed{3,1} & {} & {} & {} \\ \end{array} $$
- 영 다이어그램의 주어진 $\boxed{i,j}$에 대응되는 갈고리는 $\boxed{i,j}$ 및, 그 오른쪽과 아래쪽에 있는 $\square$들로 이루어진 집합이며, 이 집합의 크기를 갈고리의 길이라 한다.
- 가령 $\boxed{1,2}$에 대한 갈고리는 다음과 같다
$$ \begin{array}{ccc} \boxed{1,2} & \boxed{1,3} & \boxed{1,4} \\ \boxed{2,2} & {} & {} \end{array} $$
- $\boxed{2,1}$에 대한 갈고리는 다음과 같다
$$ \begin{array}{cc} \boxed{2,1} & \boxed{2,2} & {} & {} \\ \boxed{3,1} & {} & {} & {} \\ \end{array} $$
- $\boxed{i,j}$의 갈고리의 길이를 $h_{i,j}$라 두자
- $\lambda:\lambda_1\geq \cdots \geq \lambda_k> 0$를 $n$의 분할이라 하고, $\mu:\mu_1 \geq \cdots \geq \mu_l> 0$를 $\lambda$의 켤레 분할 (conjugate partition)이라 두자
- 갈고리의 길이는 다음과 같이 표현할 수 있다
$$ h_{i,j}=\lambda_i+\mu_j-i-j+1 $$
- 정리
$$ \dim V_{\lambda}=\frac{n!}{\prod_{(i,j)} h_{i,j}} $$
예
- 7의 분할 $\lambda=(4,2,1)$에 대한 영 다이어그램
$$ \begin{array}{cccc} \square & \square & \square & \square \\ \square & \square & \text{} & \text{} \\ \square & \text{} & \text{} & \text{} \end{array} $$
- 켤레 분할은 $\mu=(3, 2, 1, 1)$로 주어진다
$$ \begin{array}{ccc} \square & \square & \square \\ \square & \square & {} \\ \square & {} & {} \\ \square & {} & {} \\ \end{array} $$
- 영 다이어그램 $\lambda$의 각 $\square$에 대한 갈고리의 길이는 다음과 같이 주어진다
$$ \begin{array}{cccc} \boxed{6} & \boxed{4} & \boxed{2} & \boxed{1} \\ \boxed{3} & \boxed{1} & {} & {} \\ \boxed{1} & {} & {} & {} \\ \end{array} $$
- 표준 영 태블로의 개수는 다음과 같다
$$\frac{7!}{6\times 4\times 2\times 1\times 3\times 1\times 1}=35$$
메모
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxQlA0ZDJ6TGhZTXc/edit
- Pemmaraju, Sriram V., and Steven S. Skiena. 2003. Computational Discrete Mathematics: Combinatorics and Graph Theory with Mathematica. Cambridge University Press.